Chào các em học sinh Lớp 9!
Thầy rất vui được đồng hành cùng các em trong giai đoạn ôn thi chuyển cấp quan trọng này. Để giúp các em làm quen với cấu trúc đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán theo Chương trình giáo dục phổ thông mới (chú trọng tính ứng dụng thực tế và tư duy logic), thầy đã biên soạn Đề thi thử chuẩn cấu trúc kèm Lời giải chi tiết từng bước. Các em hãy chép lại bài tập, tự làm rồi so sánh với đáp án bên dưới nhé!
CẤU TRÚC ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN (CHƯƠNG TRÌNH MỚI)
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu 1 (2,0 điểm): Biểu thức đại số và bài toán liên quan
Cho hai biểu thức A = (√x + 2) / (√x – 5) và B = (√x / (√x + 5) + 2√x / (√x – 5) – (3x + 25) / (x – 25)) với x ≥ 0 và x ≠ 25.
- Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9.
- Rút gọn biểu thức B.
- Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P = A . B nhận giá trị là số nguyên.
Câu 2 (2,0 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình (Bài toán thực tế)
Một siêu thị điện máy thực hiện chương trình khuyến mãi giảm giá cho mặt hàng ti vi. Lần thứ nhất giảm 10% so với giá niêm yết. Lần thứ hai giảm tiếp 5% so với giá đã giảm ở lần thứ nhất. Bác An mua một chiếc ti vi ở lần giảm giá thứ hai với số tiền là 15.390.000 đồng. Hỏi giá niêm yết ban đầu của chiếc ti vi đó là bao nhiêu đồng?
Câu 3 (1,5 điểm): Hàm số và Toán ứng dụng thực tế
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = (m – 1)x + 4. Tìm m để đường thẳng (d) song song với đường thẳng (d’): y = 2x + 1.
2. Một chiếc thang dựa vào tường tạo với mặt đất một góc 65 độ. Biết khoảng cách từ chân thang đến chân tường là 1,8 mét. Tính chiều dài của chiếc thang (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Câu 4 (3,5 điểm): Hình học tổng hợp
Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của AO và BC.
- Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp một đường tròn.
- Chứng minh AO vuông góc với BC tại H và AB² = AH . AO.
- Vẽ đường kính BD của đường tròn (O). Đoạn thẳng AD cắt (O) tại điểm thứ hai là E (E khác D). Chứng minh AH . AO = AE . AD.
Câu 5 (1,0 điểm): Vận dụng cao
Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x + y ≤ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = 1/(x² + y²) + 1/(2xy) + 4xy.
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT TỪNG BƯỚC
Lời giải Câu 1:
1. Thay x = 9 (Thỏa mãn điều kiện x ≥ 0 và x ≠ 25) vào biểu thức A:
Ta có: √x = √9 = 3.
Khi đó: A = (3 + 2) / (3 – 5) = 5 / (-2) = -2,5.
Vậy với x = 9 thì A = -2,5.
2. Rút gọn B:
Ta có: x – 25 = (√x – 5)(√x + 5).
B quy đồng mẫu thức chung là (√x – 5)(√x + 5):
B = [√x(√x – 5) + 2√x(√x + 5) – (3x + 25)] / [(√x – 5)(√x + 5)]
B = (x – 5√x + 2x + 10√x – 3x – 25) / [(√x – 5)(√x + 5)]
B = (5√x – 25) / [(√x – 5)(√x + 5)]
B = 5(√x – 5) / [(√x – 5)(√x + 5)]
B = 5 / (√x + 5).
3. Ta có P = A . B = [(√x + 2) / (√x – 5)] . [5 / (√x + 5)] = 5(√x + 2) / (x – 25).
Để P nguyên với x nguyên, ta thực hiện biến đổi đại số hoặc xét tập giá trị giới hạn của x. Tuy nhiên, cách chuẩn nhất là xét biến đổi P = (5√x + 10) / (x – 25). Để P nhận giá trị nguyên khi x là số nguyên, các em tiến hành lập bảng xét điều kiện chặn giá trị hoặc tìm x nguyên sao cho mẫu số là ước của tử số sau khi đã đánh giá biên độ của x.
Lời giải Câu 2:
Gọi giá niêm yết ban đầu của chiếc ti vi là x (đồng). Điều kiện: x > 15.390.000.
Giá của ti vi sau lần giảm thứ nhất là: x . (100% – 10%) = 0,9x (đồng).
Giá của ti vi sau lần giảm thứ hai là: 0,9x . (100% – 5%) = 0,9x . 0,95 = 0,855x (đồng).
Theo đề bài, bác An mua chiếc ti vi ở lần giảm thứ hai với giá 15.390.000 đồng, ta có phương trình:
0,855x = 15.390.000
x = 15.390.000 / 0,855
x = 18.000.000 (thỏa mãn điều kiện).
Vậy giá niêm yết ban đầu của chiếc ti vi là 18.000.000 đồng.
Lời giải Câu 3:
1. Đường thẳng (d) song song với (d’) khi và chỉ khi:
![[SIÊU TO, CAO CẤP] Giấy vệ sinh treo tường TopGia thùng 10 12 8 6 bịch đa sắc, combo tiết kiệm 1280 tờ](https://media.canva.com/1/image-placeholder.png)
💡 Gợi ý lựa chọn tốt nhất cho: Sản Phẩm Đề Xuất
Đang có chương trình ưu đãi và giảm giá độc quyền trên [SIÊU TO, CAO CẤP] Giấy vệ sinh treo tường TopGia thùng 10 12 8 6 bịch đa sắc, combo tiết kiệm 1280 tờ. Khám phá ngay!
Xem Chi Tiết & Nhận Ưu Đãi →m – 1 = 2 và 4 ≠ 1 (luôn đúng).
Suy ra m = 3.
Vậy m = 3 là giá trị cần tìm.
2. Áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông tạo bởi thang, mặt đất và bức tường:
Gọi chiều dài chiếc thang là L (mét).
Ta có: cos(65 độ) = (Khoảng cách từ chân thang đến tường) / L = 1,8 / L.
Suy ra: L = 1,8 / cos(65 độ) ≈ 1,8 / 0,4226 ≈ 4,26 mét.
Lời giải Câu 4:
1. Xét tứ giác ABOC có:
Góc ABO = 90 độ (do AB là tiếp tuyến của (O)).
Góc ACO = 90 độ (do AC là tiếp tuyến của (O)).
Tổng hai góc đối: Góc ABO + Góc ACO = 90 độ + 90 độ = 180 độ.
Do đó, tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn đường kính AO.
2. Ta có AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) và OB = OC = R.
Suy ra AO là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Do đó AO vuông góc với BC tại H.
Xét tam giác ABO vuông tại B có BH là đường cao, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: AB² = AH . AO.
3. Xét hai tam giác ABE và ADB có:
Góc BAD chung.
Góc ABE = Góc ADB (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung BE).
Suy ra tam giác ABE đồng dạng với tam giác ADB (g.g).
Suy ra AB / AD = AE / AB hay AB² = AE . AD.
Kết hợp với kết quả ở ý 2 (AB² = AH . AO), ta suy ra: AH . AO = AE . AD.
Lời giải Câu 5:
Ta tách biểu thức M như sau:
M = [1/(x² + y²) + 1/(2xy)] + [1/(4xy) + 4xy] + 1/(4xy).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: 1/(x² + y²) + 1/(2xy) ≥ 4 / (x² + y² + 2xy) = 4 / (x + y)² ≥ 4 / 2² = 1.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương: 1/(4xy) + 4xy ≥ 2 . √(1/(4xy) . 4xy) = 2.
Mặt khác, ta có (x + y)² ≥ 4xy nên xy ≤ (x + y)² / 4 ≤ 2² / 4 = 1. Do đó 1/(4xy) ≥ 1/4.
Cộng các bất đẳng thức trên lại ta được:
M ≥ 1 + 2 + 1/4 = 13/4.
Dấu “=” xảy ra khi x = y = 1.
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 13/4 khi x = y = 1.
Lời khuyên từ giáo viên:
Các em hãy luyện tập làm lại đề thi này ít nhất 2 lần để khắc sâu phương pháp giải. Chú ý trình bày sạch đẹp, không viết tắt và luôn kiểm tra điều kiện xác định của các bài toán алгебра và hình học. Chúc các em ôn tập tốt và đạt điểm cao trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 sắp tới!