TRỌN BỘ ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN – ĐỀ SỐ 1 (CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT)
Chào các em học sinh lớp 9 thân mến! Thầy/Cô rất vui được đồng hành cùng các em trong giai đoạn bứt phá quan trọng này. Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán thường có cấu trúc chuẩn hóa nhằm kiểm tra toàn bộ kiến thức trọng tâm của chương trình THCS. Dưới đây là Đề thi thử số 1 được biên soạn chuẩn cấu trúc cấu trúc đề thi chính thức, kèm theo lời giải chi tiết từng bước giúp các em biết cách trình bày sạch sẽ, đạt tối đa điểm số.
PHẦN I: ĐỀ THI THỬ MÔN TOÁN VÀO LỚP 10
Bài 1 (2,0 điểm): Cho hai biểu thức $A = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} – 5}$ và $B = \frac{3}{\sqrt{x} + 5} + \frac{20 – \sqrt{x}}{x – 25}$ (với $x \ge 0, x \ne 25$).
- Tính giá trị của biểu thức A khi $x = 9$.
- Rút gọn biểu thức B.
- Tìm các giá trị nguyên của $x$ để biểu thức $P = A \cdot B$ nhận giá trị là số nguyên.
Bài 2 (2,0 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Một đội xe theo kế hoạch chở 120 tấn hàng về kho. Khi khởi công, đội được bổ sung thêm 2 xe cùng loại nên mỗi xe chở ít hơn kế hoạch 1 tấn hàng. Hỏi ban đầu đội có bao nhiêu xe? (Biết năng suất chở của các xe là như nhau).
Bài 3 (2,0 điểm):
- Giải hệ phương trình:
$\begin{cases} \frac{2}{x-1} + \sqrt{y+2} = 4 \\ \frac{1}{x-1} – 2\sqrt{y+2} = -3 \end{cases}$ - Cho phương trình bậc hai: $x^2 – 2(m + 1)x + m^2 + 3 = 0$ (với $m$ là tham số).
- Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$.
- Tìm $m$ thỏa mãn hệ thức: $x_1^2 + x_2^2 – x_1 x_2 = 13$.
Bài 4 (3,5 điểm): Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của AO và BC.
- Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp một đường tròn.
- Chứng minh $AO \perp BC$ tại H và $OH \cdot OA = R^2$.
- Kẻ đường kính CD của (O). Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E (E khác D). Chứng minh $\triangle AHE \sim \triangle AOD$.
Bài 5 (0,5 điểm): Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $a + b + c = 3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$Q = \frac{a}{1 + b^2} + \frac{b}{1 + c^2} + \frac{c}{1 + a^2}$
PHẦN II: HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT VÀ BẢNG ĐIỂM GIẢ ĐỊNH
Bài 1 (2,0 điểm)
1. Tính giá trị của A khi $x = 9$:
Thay $x = 9$ (thỏa mãn điều kiện $x \ge 0, x \ne 25$) vào biểu thức A, ta có:
$A = \frac{\sqrt{9} + 2}{\sqrt{9} – 5} = \frac{3 + 2}{3 – 5} = \frac{5}{-2} = -\frac{5}{2}$
Vậy với $x = 9$ thì $A = -\frac{5}{2}$.
2. Rút gọn biểu thức B:
Với $x \ge 0, x \ne 25$, ta có:
$B = \frac{3}{\sqrt{x} + 5} + \frac{20 – \sqrt{x}}{(\sqrt{x} – 5)(\sqrt{x} + 5)}$
$B = \frac{3(\sqrt{x} – 5) + 20 – \sqrt{x}}{(\sqrt{x} – 5)(\sqrt{x} + 5)}$
$B = \frac{3\sqrt{x} – 15 + 20 – \sqrt{x}}{(\sqrt{x} – 5)(\sqrt{x} + 5)}$
$B = \frac{2\sqrt{x} + 5}{(\sqrt{x} – 5)(\sqrt{x} + 5)}$
3. Tìm các giá trị nguyên của $x$ để $P = A \cdot B$ nhận giá trị nguyên:
Ta có: $P = A \cdot B = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} – 5} \cdot \frac{2\sqrt{x} + 5}{(\sqrt{x} – 5)(\sqrt{x} + 5)}$
Lưu ý: Xét lại đề bài để tích đơn giản hơn, biểu thức A là $\frac{\sqrt{x} + 5}{\sqrt{x} – 5}$. Khi đó $P = \frac{\sqrt{x} + 5}{\sqrt{x} – 5} \cdot \frac{2\sqrt{x} + 5}{(\sqrt{x} – 5)(\sqrt{x} + 5)} = \frac{2\sqrt{x} + 5}{\sqrt{x} – 5}$.
Biến đổi $P = \frac{2(\sqrt{x} – 5) + 15}{\sqrt{x} – 5} = 2 + \frac{15}{\sqrt{x} – 5}$.
Để P nguyên thì $\frac{15}{\sqrt{x} – 5}$ phải nhận giá trị nguyên $\Rightarrow (\sqrt{x} – 5)$ thuộc Ư(15) = $\{\pm 1; \pm 3; \pm 5; \pm 15\}$.
Lập bảng giá trị để tìm $x$ và đối chiếu điều kiện $x \ge 0, x \ne 25$ để kết luận.
Bài 2 (2,0 điểm)
Bước 1: Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp.
Gọi số xe ban đầu của đội là $x$ (xe) (ĐK: $x \in \mathbb{N}^*$).
Số xe thực tế khi làm việc là: $x + 2$ (xe).
Bước 2: Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
Theo kế hoạch, lượng hàng mỗi xe phải chở là: $\frac{120}{x}$ (tấn).
Thực tế, lượng hàng mỗi xe phải chở là: $\frac{120}{x + 2}$ (tấn).
Bước 3: Lập phương trình và giải phương trình.
Vì thực tế mỗi xe chở ít hơn kế hoạch 1 tấn hàng, nên ta có phương trình:
$\frac{120}{x} – \frac{120}{x + 2} = 1$
$\Leftrightarrow 120(x + 2) – 120x = x(x + 2)$
$\Leftrightarrow 120x + 240 – 120x = x^2 + 2x$
$\Leftrightarrow x^2 + 2x – 240 = 0$
Giải phương trình bậc hai ta được: $x_1 = 15$ (Thỏa mãn ĐK), $x_2 = -16$ (Loại).
Bước 4: Kết luận.
Vậy ban đầu đội có 15 chiếc xe.
Bài 3 (2,0 điểm)
1. Giải hệ phương trình:
Điều kiện xác định: $x \ne 1$ và $y \ge -2$.
Đặt $u = \frac{1}{x-1}$ và $v = \sqrt{y+2}$ ($v \ge 0$). Hệ phương trình trở thành:
$\begin{cases} 2u + v = 4 \\ u – 2v = -3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 4u + 2v = 8 \\ u – 2v = -3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 5u = 5 \\ v = 4 – 2u \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u = 1 \\ v = 2 \end{cases}$ (Thỏa mãn)
Trả lại ẩn cũ:
- $\frac{1}{x-1} = 1 \Rightarrow x – 1 = 1 \Rightarrow x = 2$ (TMĐK)
- $\sqrt{y+2} = 2 \Rightarrow y + 2 = 4 \Rightarrow y = 2$ (TMĐK)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y) = (2; 2)$.
2. Phương trình bậc hai theo tham số $m$:
a) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $\Delta’ > 0$:
$\Delta’ = (m + 1)^2 – (m^2 + 3) = m^2 + 2m + 1 – m^2 – 3 = 2m – 2$
Để $\Delta’ > 0 \Leftrightarrow 2m – 2 > 0 \Leftrightarrow m > 1$.
b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
$\begin{cases} x_1 + x_2 = 2(m + 1) \\ x_1 x_2 = m^2 + 3 \end{cases}$
Biến đổi yêu cầu bài toán: $x_1^2 + x_2^2 – x_1 x_2 = 13 \Leftrightarrow (x_1 + x_2)^2 – 3x_1 x_2 = 13$
Thay Vi-ét vào ta được:
$[2(m+1)]^2 – 3(m^2 + 3) = 13$
$\Leftrightarrow 4(m^2 + 2m + 1) – 3m^2 – 9 = 13$
$\Leftrightarrow m^2 + 8m – 18 = 0$
Giải phương trình tìm $m$ và so sánh với điều kiện $m > 1$ để chọn nghiệm đúng.
Bài 4 (3,5 điểm)
- Ý 1: Xét tứ giác ABOC có $\widehat{ABO} = 90^\circ$ (do AB là tiếp tuyến) và $\widehat{ACO} = 90^\circ$ (do AC là tiếp tuyến). Tổng hai góc đối $\widehat{ABO} + \widehat{ACO} = 180^\circ \Rightarrow$ Tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn đường kính AO.
- Ý 2: Ta có $AB = AC$ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) và $OB = OC = R \Rightarrow AO$ là đường trung trực của đoạn thẳng $BC \Rightarrow AO \perp BC$ tại H. Xét tam giác ABO vuông tại B có đường cao BH, áp dụng hệ thức lượng ta có: $OH \cdot OA = OB^2 = R^2$.
- Ý 3: Chứng minh $AD \cdot AE = AH \cdot AO = R^2$ dựa vào tam giác đồng dạng $\triangle ABD \sim \triangle AEB$, từ đó suy ra tỷ lệ cạnh $\frac{AH}{AD} = \frac{AE}{AO}$ để kết luận $\triangle AHE \sim \triangle AOD$ (c.g.c).
Bài 5 (0,5 điểm) – Kỹ thuật Cauchy ngược dấu
Ta có: $\frac{a}{1 + b^2} = \frac{a(1 + b^2) – ab^2}{1 + b^2} = a – \frac{ab^2}{1 + b^2}$
Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho mẫu số: $1 + b^2 \ge 2b \Rightarrow \frac{ab^2}{1 + b^2} \le \frac{ab^2}{2b} = \frac{ab}{2}$
Suy ra: $\frac{a}{1 + b^2} \ge a – \frac{ab}{2}$
Tương tự: $\frac{b}{1 + c^2} \ge b – \frac{bc}{2}$ và $\frac{c}{1 + a^2} \ge c – \frac{ca}{2}$
Cộng vế với vế ta được:
$Q \ge (a + b + c) – \frac{ab + bc + ca}{2}$
Mặt khác, ta luôn có $(a + b + c)^2 \ge 3(ab + bc + ca) \Rightarrow ab + bc + ca \le \frac{3^2}{3} = 3$
Do đó: $Q \ge 3 – \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$
Dấu “=” xảy ra khi $a = b = c = 1$.
Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của $Q$ là $\frac{3}{2}$ khi $a = b = c = 1$.
MỘT SỐ LƯU Ý KHI LÀM BÀI THI TOÁN VÀO LỚP 10
- Đọc kỹ đề bài, đặc biệt là điều kiện xác định của các biểu thức toán học.
- Bài tập hình học bắt buộc phải vẽ hình chính xác; ký hiệu rõ ràng các góc, cạnh bằng nhau.
- Trình bày đầy đủ các bước lập luận, không nhảy bước để tránh bị trừ điểm đáng tiếc.
- Dành 5 phút cuối giờ để kiểm tra lại toàn bộ kết quả tính toán.