Hướng dẫn giải chi tiết đề thi thử Toán vào lớp 10 – Chuyên đề Hàm số và Phương trình bậc hai
Chào các em học sinh lớp 9 thân mến!
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 là một trong những cột mốc quan trọng nhất trong hành trình học tập của các em. Để giúp các em tự tin chinh phục môn Toán, đặc biệt là với cấu trúc ma trận đề thi mới ngày càng yêu cầu tư duy tổng hợp, hôm nay thầy sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết một dạng bài tập điển hình, thường xuyên xuất hiện và là “điểm gỡ” hoặc “điểm phân loại” thí sinh trong các đề thi thử.
Chuyên đề “Hàm số và Phương trình bậc hai” kết hợp với Định lý Vi-ét là một mảng kiến thức cực kỳ quan trọng, chiếm tỷ trọng không nhỏ trong đề thi. Nắm vững dạng bài này sẽ giúp các em không chỉ có điểm cao mà còn rèn luyện tư duy logic, chặt chẽ.
Đề bài mẫu
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) có phương trình y = x2 và đường thẳng (d) có phương trình y = (m – 1)x + m + 4 (với m là tham số).
- Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m.
- Gọi x1, x2 là hoành độ các giao điểm của (P) và (d). Tìm m để biểu thức A = x12 + x22 – 6x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải chi tiết (Step-by-step)
Phần 1: Phân tích và Giải câu a)
Để chứng minh đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt, chúng ta cần tìm phương trình hoành độ giao điểm và chứng minh phương trình này luôn có hai nghiệm phân biệt, tức là Delta (Δ) hoặc Delta phẩy (Δ’) của phương trình đó luôn lớn hơn 0.
-
Bước 1: Viết phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d).
Cho yP = yd, ta có:
x2 = (m – 1)x + m + 4
-
Bước 2: Chuyển phương trình về dạng phương trình bậc hai tổng quát ax2 + bx + c = 0.
x2 – (m – 1)x – (m + 4) = 0 (Ký hiệu đây là phương trình (1))
Trong đó: a = 1, b = -(m – 1), c = -(m + 4).
-
Bước 3: Tính biệt thức Delta (Δ) của phương trình (1).
Δ = b2 – 4ac
Δ = [-(m – 1)]2 – 4 . 1 . [-(m + 4)]
Δ = (m – 1)2 + 4(m + 4)
Δ = m2 – 2m + 1 + 4m + 16
Δ = m2 + 2m + 17
-
Bước 4: Chứng minh Delta luôn dương với mọi m.
Chúng ta có thể biến đổi Δ về dạng bình phương của một tổng cộng với một số dương:
Δ = m2 + 2m + 1 + 16
Δ = (m + 1)2 + 16
Vì (m + 1)2 ≥ 0 với mọi m (bình phương của một số thực luôn không âm).
Nên (m + 1)2 + 16 ≥ 16.
Suy ra Δ ≥ 16.
Do đó, Δ > 0 với mọi giá trị của m.
-
Bước 5: Kết luận.
Vì Δ luôn lớn hơn 0 với mọi m, phương trình hoành độ giao điểm (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Điều này chứng tỏ đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m.
Phần 2: Phân tích và Giải câu b)
Để tìm giá trị của m sao cho biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất, chúng ta sẽ sử dụng Định lý Vi-ét để liên hệ giữa hoành độ giao điểm x1, x2 và tham số m. Sau đó, thay thế vào biểu thức A và tìm giá trị nhỏ nhất của nó.
💡 Gợi ý lựa chọn tốt nhất cho: Sản Phẩm Đề Xuất
Đang có chương trình ưu đãi và giảm giá độc quyền trên Khăn giấy cao cấp TopGia Đa Sắc 9 bịch, giấy rút treo tường 1280 tờ 4 lớp bằng bột gỗ nguyên sinh. Khám phá ngay!
Xem Chi Tiết & Nhận Ưu Đãi →-
Bước 1: Áp dụng Định lý Vi-ét cho phương trình (1).
Từ phương trình (1): x2 – (m – 1)x – (m + 4) = 0, ta có:
- Tổng hai nghiệm: S = x1 + x2 = -b/a = -[-(m – 1)] / 1 = m – 1
- Tích hai nghiệm: P = x1x2 = c/a = -(m + 4) / 1 = -m – 4
-
Bước 2: Biến đổi biểu thức A về dạng chứa tổng S và tích P.
Biểu thức cần tìm giá trị nhỏ nhất là A = x12 + x22 – 6x1x2.
Ta biết rằng x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2.
Thay thế vào biểu thức A:
A = [(x1 + x2)2 – 2x1x2] – 6x1x2
A = (x1 + x2)2 – 8x1x2
A = S2 – 8P
-
Bước 3: Thay S và P theo m vào biểu thức A.
A = (m – 1)2 – 8(-m – 4)
A = m2 – 2m + 1 + 8m + 32
A = m2 + 6m + 33
-
Bước 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của A bằng cách hoàn thành bình phương.
Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức bậc hai A = m2 + 6m + 33, chúng ta sẽ đưa nó về dạng (m + k)2 + h.
A = (m2 + 6m + 9) + 24
A = (m + 3)2 + 24
Vì (m + 3)2 ≥ 0 với mọi m.
Nên (m + 3)2 + 24 ≥ 24.
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 24.
-
Bước 5: Xác định giá trị của m khi A đạt giá trị nhỏ nhất.
Giá trị nhỏ nhất của A đạt được khi (m + 3)2 = 0.
Tức là m + 3 = 0.
Suy ra m = -3.
-
Bước 6: Kết luận.
Vậy, khi m = -3, biểu thức A = x12 + x22 – 6x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất là 24.
Lời khuyên từ thầy giáo
- Nắm vững kiến thức cơ bản: Định lý Vi-ét, cách tính Delta, hằng đẳng thức đáng nhớ là nền tảng không thể thiếu.
- Đọc kỹ đề bài: Phân tích từng yêu cầu của đề để tránh sai sót.
- Trình bày rõ ràng, mạch lạc: Đặc biệt là các bước chứng minh, biến đổi biểu thức. Điều này giúp giám khảo dễ chấm điểm và tránh mất điểm oan.
- Luyện tập thường xuyên: Giải nhiều dạng bài tập khác nhau để làm quen với các biến thể của đề thi.
- Kiểm tra lại kết quả: Sau khi giải xong, hãy dành thời gian kiểm tra lại các bước tính toán và logic lập luận.
Thầy hy vọng bài hướng dẫn chi tiết này sẽ giúp các em củng cố kiến thức và tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán tương tự trong đề thi. Hãy luôn cố gắng và kiên trì nhé!
Chúc các em ôn tập hiệu quả và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới!