LỚP 9

Lời giải Hình học 9 Đường tròn và tiếp tuyến sách giáo khoa mới

🔍 Tìm kiếm thông tin tại khu vực Đà Nẵng:




Hướng Dẫn Giải Chi Tiết: Chuyên Đề Đường Tròn và Tiếp Tuyến (Hình Học 9 – Chuẩn Bị Thi Lên 10)

Chào tất cả các em học sinh yêu quý! Với vai trò là một người thầy đã đồng hành cùng rất nhiều thế hệ học sinh trong hành trình chinh phục kỳ thi vào lớp 10, thầy biết rằng chuyên đề “Đường tròn và tiếp tuyến” là một trong những phần kiến thức trọng tâm, thường xuyên xuất hiện trong các đề thi. Để giúp các em nắm vững kiến thức, tự tin giải quyết mọi dạng bài, hôm nay thầy sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết một bài tập mẫu “cực chuẩn” theo phong cách Step-by-step, đảm bảo dễ hiểu và dễ dàng tra cứu, ôn tập.

1. Ôn Tập Lý Thuyết Trọng Tâm Cần Nắm Vững

Trước khi đi vào bài tập, chúng ta cùng điểm lại những khái niệm và định lý quan trọng nhất về đường tròn và tiếp tuyến trong sách giáo khoa mới nhé. Nắm chắc lý thuyết là chìa khóa để giải bài tập!

  • Định nghĩa Tiếp tuyến của đường tròn: Tiếp tuyến của một đường tròn là đường thẳng chỉ có MỘT điểm chung với đường tròn đó. Điểm chung này được gọi là tiếp điểm.
  • Tính chất cơ bản của tiếp tuyến:
    • Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn thì nó VUÔNG GÓC với bán kính đi qua tiếp điểm.
    • Ngược lại, nếu một đường thẳng vuông góc với bán kính tại một điểm nằm trên đường tròn thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn. (Đây là dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến!)
  • Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm nằm ngoài đường tròn thì:
    1. Khoảng cách từ điểm đó đến hai tiếp điểm bằng nhau. (Ví dụ: AB = AC)
    2. Tia nối tâm đường tròn với điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm. (Ví dụ: OA là phân giác của góc BOC)
    3. Tia nối tâm đường tròn với điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến. (Ví dụ: OA là phân giác của góc BAC)
    4. Đường thẳng nối hai tiếp điểm VUÔNG GÓC với đường thẳng nối tâm và điểm đó tại giao điểm của chúng. (Ví dụ: OA vuông góc với BC tại H)

2. Bài Tập Mẫu và Lời Giải Chi Tiết (Step-by-step)

Đề bài: Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (O) (với B, C là các tiếp điểm).

a) Chứng minh rằng OA vuông góc với BC.

b) Kẻ đường kính CD của đường tròn (O). Chứng minh rằng BD song song với AO.

c) Cho R = 3cm, AO = 5cm. Tính độ dài các đoạn thẳng AB, BC và OA.

Phân Tích Đề Bài:

  • Dữ kiện cho trước: Đường tròn (O; R), điểm A nằm ngoài (O), AB và AC là hai tiếp tuyến. R = 3cm, AO = 5cm.
  • Yêu cầu:
    1. Chứng minh OA vuông góc với BC. Đây là tính chất quen thuộc của hai tiếp tuyến cắt nhau.
    2. Chứng minh BD song song với AO. Cần tìm mối liên hệ vuông góc hoặc các góc đồng vị/so le trong.
    3. Tính độ dài AB, BC, OA. Sử dụng định lý Pythagoras và hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Vẽ Hình: Các em hãy tự vẽ hình vào vở một cách cẩn thận theo mô tả đề bài để dễ dàng theo dõi lời giải nhé. (Vẽ đường tròn (O), điểm A ngoài, kẻ AB, AC tiếp tuyến. Nối OA, OB, OC, BC. Kẻ đường kính CD, nối BD).

Lời Giải Chi Tiết (Step-by-step):

a) Chứng minh OA vuông góc với BC.

  1. Xác định các mối quan hệ cơ bản từ tính chất tiếp tuyến:

    Vì AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B (theo giả thiết), suy ra bán kính OB vuông góc với tiếp tuyến AB tại tiếp điểm B. Hay góc OBA = 90o.

    Tương tự, vì AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C, suy ra bán kính OC vuông góc với tiếp tuyến AC tại tiếp điểm C. Hay góc OCA = 90o.

  2. Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau hoặc chứng minh tam giác bằng nhau:

    Ta có OB = OC (cùng bằng bán kính R).

    Xét tam giác OBA vuông tại B và tam giác OCA vuông tại C. Hai tam giác này có:

    • OA là cạnh chung (cạnh huyền).
    • OB = OC = R (cạnh góc vuông).

    Vậy, tam giác OBA bằng tam giác OCA (theo trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông).

  3. Suy ra các kết quả cần thiết:

    Từ tam giác OBA = tam giác OCA, suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng).

    Lúc này, ta có O cách đều B và C (OB = OC), và A cũng cách đều B và C (AB = AC).

  4. Kết luận:

    Vì O và A cùng thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC, nên đường thẳng OA chính là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

    Do đó, OA vuông góc với BC.

b) Chứng minh BD song song với AO.

  1. Tìm mối liên hệ vuông góc với cạnh chung:

    Theo chứng minh ở câu a), ta đã biết OA vuông góc với BC.

  2. Xét tam giác có đường kính:

    Vì CD là đường kính của đường tròn (O) (theo giả thiết), nên tam giác CBD là tam giác nội tiếp đường tròn có một cạnh là đường kính.

    Do đó, tam giác CBD vuông tại B. (Đây là định lý về góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

    Suy ra, CB vuông góc với BD.

  3. Kết luận về song song:

    BỘ DỤNG CỤ 46 CHI TIẾT, BỘ DỤNG CỤ MỞ BU LÔNG ỐC VÍT ĐA NĂNG

    💡 Gợi ý lựa chọn tốt nhất cho: Sản Phẩm Đề Xuất

    Đang có chương trình ưu đãi và giảm giá độc quyền trên BỘ DỤNG CỤ 46 CHI TIẾT, BỘ DỤNG CỤ MỞ BU LÔNG ỐC VÍT ĐA NĂNG. Khám phá ngay!

    Xem Chi Tiết & Nhận Ưu Đãi →

    Ta có: OA vuông góc với BC (chứng minh trên).

    Và: BD vuông góc với BC (chứng minh trên).

    Vì cả hai đường thẳng OA và BD cùng vuông góc với đường thẳng BC, nên chúng phải song song với nhau.

    Vậy, BD song song với AO.

c) Tính độ dài các đoạn thẳng AB, BC và OA biết R = 3cm, AO = 5cm.

  1. Tính độ dài AB:

    Vì AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B, nên tam giác OBA vuông tại B.

    Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông OBA:

    OA2 = OB2 + AB2

    Thay số: 52 = 32 + AB2

    25 = 9 + AB2

    AB2 = 25 – 9 = 16

    AB = √16 = 4 cm.

  2. Tính độ dài BC:

    Gọi H là giao điểm của OA và BC. Theo câu a), OA vuông góc với BC tại H. Do đó, BH là đường cao trong tam giác vuông OBA.

    Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OBA (đường cao BH):

    OB . AB = OA . BH

    Thay số: 3 . 4 = 5 . BH

    12 = 5 . BH

    BH = 12 / 5 = 2.4 cm.

    Vì OA là đường trung trực của BC (chứng minh ở câu a)), nên H là trung điểm của BC. Do đó, BC = 2 . BH.

    BC = 2 . 2.4 = 4.8 cm.

  3. Tính độ dài OA:

    Đề bài đã cho OA = 5 cm. (Thầy đưa vào để nhắc lại việc đọc kỹ đề).

Lưu ý quan trọng và Mẹo làm bài:

  • Luôn vẽ hình thật chính xác và rõ ràng. Hình vẽ đẹp sẽ giúp các em nhìn ra mối quan hệ giữa các yếu tố hình học.
  • Nắm vững các định lý, tính chất cơ bản. Đặc biệt là định lý Pythagoras và các hệ thức lượng trong tam giác vuông, chúng rất thường xuyên được sử dụng.
  • Với các bài tập chứng minh song song, hãy nghĩ đến các trường hợp: cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba, các góc so le trong/đồng vị bằng nhau, hoặc sử dụng định lý Thales đảo.
  • Đừng quên các định lý về góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung – chúng cũng là “vũ khí” lợi hại trong chuyên đề này.

3. Bài Tập Tự Luyện (Thử Thách Nâng Cao)

Để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng, các em hãy thử sức với các bài tập sau nhé:

  1. Cho đường tròn (O; R) và điểm M nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến MA và cát tuyến MBC (B nằm giữa M và C) tới đường tròn (O). Chứng minh rằng MA2 = MB . MC. (Đây là một dạng bài nâng cao, liên quan đến phương tích của một điểm đối với đường tròn, rất hay xuất hiện trong các đề thi).
  2. Cho đường tròn (O; 5cm) và điểm A cách O là 10cm. Kẻ tiếp tuyến AB đến đường tròn (O) (B là tiếp điểm).

    a) Tính độ dài AB.

    b) Kẻ dây BC vuông góc với OA tại H. Chứng minh rằng tam giác OAB đồng dạng với tam giác BHA.

    c) Tính độ dài BC.

Lời Kết:

Thầy mong rằng với bài hướng dẫn chi tiết này, các em đã có cái nhìn rõ ràng hơn về cách giải quyết các bài toán “Đường tròn và tiếp tuyến”. Hãy kiên trì luyện tập, không ngại khó, và luôn nhớ rằng kiến thức là một hành trình khám phá không ngừng. Chúc các em học tốt và đạt được kết quả cao nhất trong kỳ thi sắp tới!

Lượt xem: 6