HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ÔN THI VÀO 10: CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Chào các em học sinh Lớp 9 thân mến! Thầy/Cô rất vui được đồng hành cùng các em. Chương Phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là một trong những chuyên đề CHẮC CHẮN xuất hiện trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT trên cả nước (thường chiếm từ 1,5 đến 2,0 điểm). Dưới đây là hệ thống lý thuyết trọng tâm và phương pháp giải bài tập chi tiết từng bước giúp các em nắm chắc kiến thức và tự tin đạt điểm tối đa.
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM CẦN NẮM VỮNG
1. Phương trình bậc nhất hai ẩn
Dạng tổng quát: ax + by = c (trong đó a, b, c là các số đã biết, a khác 0 hoặc b khác 0).
Phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng (d): ax + by = c trên mặt phẳng tọa độ.
2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Dạng tổng quát:
Phương trình (1): ax + by = c
Phương trình (2): a’x + b’y = c’
Giải hệ phương trình là tìm tập nghiệm chung của cả hai phương trình.
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHI TIẾT TỪNG BƯỚC
Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Quy tắc giải 4 bước:
- Bước 1: Từ một phương trình của hệ (nên chọn phương trình có hệ số của x hoặc y là 1 hoặc -1), ta biểu diễn ẩn này theo ẩn kia (ví dụ: rút x theo y).
- Bước 2: Thế biểu thức vừa rút được vào phương trình còn lại để thu được một phương trình bậc nhất một ẩn.
- Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa thu được để tìm giá trị của ẩn đó.
- Bước 4: Thay giá trị vừa tìm được vào biểu thức ở Bước 1 để tìm ẩn còn lại. Kết luận nghiệm (x; y) của hệ.
Bài tập mẫu 1: Giải hệ phương trình sau:
Phương trình (1): x – 2y = 3
Phương trình (2): 3x + y = 16
Lời giải chi tiết:
Từ phương trình (1), ta rút x theo y: x = 2y + 3 (3)
Thế biểu thức (3) vào phương trình (2), ta được:
3(2y + 3) + y = 16
6y + 9 + y = 16
7y = 16 – 9
7y = 7 => y = 1
Thay y = 1 vào biểu thức (3), ta được:
x = 2(1) + 3 = 5
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x; y) = (5; 1).
Dạng 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
Quy tắc giải 4 bước:
- Bước 1: Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho hệ số của cùng một ẩn trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau.
- Bước 2: Cộng hoặc trừ từng vế hai phương trình của hệ để triệt tiêu bớt một ẩn.
- Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa thu được.
- Bước 4: Thay giá trị tìm được vào một trong hai phương trình ban đầu để tìm ẩn còn lại, sau đó kết luận.
Bài tập mẫu 2: Giải hệ phương trình sau:
Phương trình (1): 2x + 3y = 7
Phương trình (2): 3x – 3y = 3
Lời giải chi tiết:
Nhận thấy hệ số của ẩn y trong hai phương trình là 3 và -3 (đối nhau), ta cộng từng vế của phương trình (1) và phương trình (2):
(2x + 3y) + (3x – 3y) = 7 + 3
5x = 10 => x = 2
Thay x = 2 vào phương trình (1), ta được:
2(2) + 3y = 7
4 + 3y = 7
3y = 3 => y = 1
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x; y) = (2; 1).
III. DẠNG TOÁN ÔN THI VÀO 10: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Đây là dạng bài tập trọng tâm nhất trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10.
Quy trình 3 bước chuẩn:
- Bước 1: Lập hệ phương trình
- Chọn hai ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn (đơn vị, tập hợp).
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua các ẩn và các đại lượng đã biết.
- Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
- Bước 2: Giải hệ phương trình vừa lập bằng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế.
- Bước 3: Đối chiếu và Kết luận (So sánh nghiệm tìm được với điều kiện ban đầu để trả lời bài toán).
Bài tập mẫu 3 (Toán làm chung – làm riêng): Hai tổ công nhân cùng làm chung một công việc thì sau 12 ngày sẽ hoàn thành. Nếu tổ I làm trong 3 ngày rồi nghỉ, tổ II làm tiếp trong 6 ngày thì cả hai tổ làm được 2/5 công việc. Hỏi nếu làm riêng, mỗi tổ hoàn thành công việc đó trong bao lâu?
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Chọn ẩn và đặt điều kiện
Gọi thời gian tổ I làm riêng hoàn thành xong công việc là x (ngày, điều kiện: x > 12).
Gọi thời gian tổ II làm riêng hoàn thành xong công việc là y (ngày, điều kiện: y > 12).
Bước 2: Biểu diễn đại lượng và lập hệ
Trong 1 ngày, tổ I làm được: 1/x (công việc).
Trong 1 ngày, tổ II làm được: 1/y (công việc).
Vì hai tổ cùng làm chung thì 12 ngày xong công việc, nên trong 1 ngày cả hai tổ làm được 1/12 công việc. Ta có phương trình thứ nhất:
1/x + 1/y = 1/12 (Phương trình 1)
Tổ I làm trong 3 ngày được: 3/x (công việc).
Tổ II làm trong 6 ngày được: 6/y (công việc).
Vì cả hai tổ làm được 2/5 công việc nên ta có phương trình thứ hai:
3/x + 6/y = 2/5 (Phương trình 2)
Bước 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Đặt u = 1/x và v = 1/y (điều kiện: u > 0, v > 0). Hệ phương trình trở thành:
u + v = 1/12
3u + 6v = 2/5
Nhân cả hai vế của phương trình đầu với 3: 3u + 3v = 3/12 = 1/4
Lấy phương trình sau trừ phương trình đầu theo vế:
(3u + 6v) – (3u + 3v) = 2/5 – 1/4
3v = 3/20 => v = 1/20 (thỏa mãn)
Thay v = 1/20 vào u + v = 1/12:
u = 1/12 – 1/20 = 1/30 (thỏa mãn)
Trả lại ẩn ban đầu:
1/x = 1/30 => x = 30 (thỏa mãn điều kiện x > 12)
1/y = 1/20 => y = 20 (thỏa mãn điều kiện y > 12)
Kết luận: Vậy tổ I làm riêng thì xong công việc trong 30 ngày; tổ II làm riêng thì xong công việc trong 20 ngày.
IV. BÍ QUYẾT ÔN THI ĐẠT ĐIỂM TỐI ĐA TỪ GIÁO VIÊN
- Kiểm tra điều kiện: Luôn nhớ đặt điều kiện cho ẩn (ví dụ: x, y > 0 hoặc x, y thuộc N*) và kiểm tra nghiệm sau khi giải xong.
- Sử dụng máy tính cầm tay: Sau khi giải xong bằng tay, các em hãy bấm máy tính (Casio 570VN / 580VN X) dùng chức năng giải hệ phương trình để kiểm tra lại kết quả.
- Trình bày cẩn thận: Không làm tắt các bước biến đổi dấu, viết đầy đủ dấu tương đương hoặc suy ra để không bị trừ điểm trình bày.