Đề thi học kì 1 Toán 8 Cánh diều mới nhất có lời giải chi tiết

Nguyen Tokyo

29/10/2026

Share:

ĐỀ THI HỌC KÌ 1 TOÁN 8 (CÁNH DIỀU) CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

Xin chào các em học sinh yêu quý của thầy/cô! Hôm nay, thầy/cô rất vui được cùng các em ôn tập và chinh phục Đề thi Học kì 1 môn Toán lớp 8 theo chương trình sách Cánh Diều. Đây là một cơ hội tuyệt vời để chúng ta củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải bài và chuẩn bị thật tốt cho kì thi sắp tới.

Với mỗi bài tập dưới đây, thầy/cô sẽ không chỉ đưa ra đáp án mà còn hướng dẫn các em từng bước một, giải thích cặn kẽ phương pháp tư duy và các kiến thức nền tảng cần áp dụng. Hãy đọc thật kĩ, cùng làm bài và đối chiếu với lời giải để hiểu sâu sắc hơn nhé!

Chúc các em học tốt và đạt kết quả cao trong học tập!

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ 1 MÔN TOÁN 8

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (3,0 điểm)

Hãy chọn chữ cái đứng trước câu trả lời đúng nhất.

Câu 1 (0,5 điểm):

Kết quả của phép tính: (x + 2y)(x – 2y) là:

A. x² + 4y²

B. x² – 4y²

C. x² – 2y²

D. x² + 2y²

Hướng dẫn giải chi tiết Câu 1:

1. Nhận diện dạng bài: Đây là bài toán nhân hai đa thức có dạng đặc biệt, cụ thể là Hằng đẳng thức số 3: Hiệu hai bình phương. Công thức là: (A + B)(A – B) = A² – B².

2. Xác định A và B: Trong biểu thức (x + 2y)(x – 2y):

   • A chính là x
   • B chính là 2y

3. Áp dụng công thức: Thay A = x và B = 2y vào công thức hằng đẳng thức:

   (x + 2y)(x – 2y) = x² – (2y)²

4. Tính toán:

   x² – (2y)² = x² – 2²y² = x² – 4y²

5. So sánh với các đáp án: Kết quả x² – 4y² trùng khớp với đáp án B.

Đáp án đúng: B

(Thầy/cô lưu ý: Việc nắm vững 7 hằng đẳng thức đáng nhớ sẽ giúp các em giải quyết rất nhiều bài toán đại số một cách nhanh chóng và chính xác nhé!)

Câu 2 (0,5 điểm):

Giá trị của x để phân thức ∣

x + 1
x – 2

∣ xác định là:

A. x ≠ 1

B. x ≠ -1

C. x ≠ 2

D. x ≠ -2

Hướng dẫn giải chi tiết Câu 2:

1. Nhận diện dạng bài: Đây là bài toán tìm điều kiện để một phân thức đại số xác định (có nghĩa). Kiến thức trọng tâm là mẫu thức phải khác 0.

2. Xác định mẫu thức: Phân thức đã cho là ∣
   
   x + 1
   x – 2
   
   ∣ . Mẫu thức của phân thức này là (x – 2).

3. Thiết lập điều kiện: Để phân thức xác định, mẫu thức phải khác 0. Tức là:

   x – 2 ≠ 0

4. Giải điều kiện: Chuyển -2 sang vế phải và đổi dấu:

   x ≠ 0 + 2

   x ≠ 2

5. So sánh với các đáp án: Kết quả x ≠ 2 trùng khớp với đáp án C.

Đáp án đúng: C

(Thầy/cô lưu ý: Điều kiện xác định của phân thức là một kiến thức rất cơ bản và quan trọng. Các em phải luôn nhớ rằng “mẫu thức phải khác 0” nhé!)

PHẦN II: TỰ LUẬN (7,0 điểm)

Bài 1 (2,0 điểm):

a) Thực hiện phép tính: (x + 3)(x² – 3x + 9) – x³

b) Rút gọn phân thức: ∣

x² – 4
x² + 4x + 4

∣

Hướng dẫn giải chi tiết Bài 1:

a) Thực hiện phép tính: (x + 3)(x² – 3x + 9) – x³

1. Nhận diện dạng bài: Đây là bài toán thực hiện phép tính với đa thức, bao gồm nhân đa thức và trừ đa thức. Cụm (x + 3)(x² – 3x + 9) có dạng của Hằng đẳng thức số 6: Tổng hai lập phương. Công thức là: A³ + B³ = (A + B)(A² – AB + B²).

2. Xác định A và B trong Hằng đẳng thức:

   • A = x
   • B = 3
   • Kiểm tra: A² – AB + B² = x² – x*3 + 3² = x² – 3x + 9 (Đúng như trong đề bài)

3. Áp dụng Hằng đẳng thức:

   (x + 3)(x² – 3x + 9) = x³ + 3³ = x³ + 27

4. Hoàn thành phép tính: Thay kết quả vừa tìm được vào biểu thức ban đầu:

   (x³ + 27) – x³ = x³ + 27 – x³

5. Rút gọn:

   x³ – x³ + 27 = 0 + 27 = 27

Kết quả: (x + 3)(x² – 3x + 9) – x³ = 27

(Thầy/cô lưu ý: Đôi khi việc nhận ra hằng đẳng thức có thể giúp các em rút gọn bài toán phức tạp thành một phép tính đơn giản hơn rất nhiều!)

b) Rút gọn phân thức: ∣

x² – 4
x² + 4x + 4

∣

1. Xác định mục tiêu: Để rút gọn phân thức, chúng ta cần phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử, sau đó chia cả tử và mẫu cho các nhân tử chung.

2. Phân tích tử thức: Tử thức là x² – 4.

   • Nhận diện dạng: Đây là Hằng đẳng thức số 3 (Hiệu hai bình phương): A² – B² = (A – B)(A + B).
   • Xác định A và B: A = x, B = 2 (vì 4 = 2²).
   • Áp dụng: x² – 4 = x² – 2² = (x – 2)(x + 2).

3. Phân tích mẫu thức: Mẫu thức là x² + 4x + 4.

   • Nhận diện dạng: Đây là Hằng đẳng thức số 1 (Bình phương của một tổng): A² + 2AB + B² = (A + B)².
   • Xác định A và B: A = x, B = 2 (vì 4 = 2² và 4x = 2 * x * 2).
   • Áp dụng: x² + 4x + 4 = (x + 2)².

4. Viết lại phân thức đã phân tích:

   ∣
   
   x² – 4
   x² + 4x + 4
   
   ∣ = ∣
   
   (x – 2)(x + 2)
   (x + 2)²
   
   ∣

5. Rút gọn: Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung (x + 2) (với điều kiện x ≠ -2).

   = ∣
   
   x – 2
   x + 2
   
   ∣

Kết quả: ∣

x² – 4
x² + 4x + 4

∣ = ∣

x – 2
x + 2

∣ (với x ≠ -2)

(Thầy/cô lưu ý: Khi rút gọn phân thức, các em cần nhớ đặt điều kiện để mẫu thức mới và cũ đều khác 0. Trong trường hợp này, (x+2) ở mẫu nên x khác -2 nhé!)

Bài 2 (3,0 điểm):

Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Kẻ MD vuông góc với AB tại D, ME vuông góc với AC tại E.

1. Chứng minh ∣
   ∂ADM ≌ ∂AEM.
2. Chứng minh tứ giác ADME là hình gì? Giải thích.

Hướng dẫn giải chi tiết Bài 2:

a) Chứng minh ∣
∂ADM ≌ ∂AEM.

1. Phân tích đề bài và mục tiêu: Chúng ta cần chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau. Để chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau, chúng ta có thể sử dụng các trường hợp bằng nhau cơ bản (cạnh huyền – góc nhọn, cạnh huyền – cạnh góc vuông).

2. Khai thác giả thiết:

   • Tam giác ABC cân tại A: Suy ra AB = AC và ∣
     ∠B = ∠C.
   • M là trung điểm của BC: AM là đường trung tuyến của tam giác cân ABC. Trong tam giác cân, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác của góc ở đỉnh và đường cao. Do đó, AM là tia phân giác của ∠BAC và AM ∵ BC.
   • MD ∵ AB (tại D) → ∣
     ∠ADM = 90^o.
   • ME ∵ AC (tại E) → ∣
     ∠AEM = 90^o.

3. Xét hai tam giác cần chứng minh: ∣
   ∂ADM và ∂AEM có:

   • ∣
     ∠ADM = ∠AEM = 90^o (theo giả thiết).
   • AM là cạnh chung. (Đây là cạnh huyền của cả hai tam giác vuông).
   • ∣
     ∠DAM = ∠EAM (vì AM là tia phân giác của ∠BAC, chứng minh ở bước 2).

4. Kết luận: Vậy ∣
   ∂ADM = ∂AEM (Cạnh huyền – góc nhọn).

Trình bày lời giải:

Xét ∣
∂ABC cân tại A có M là trung điểm của BC (giả thiết).

→ AM là đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác của ∠BAC.

→ ∣
∠DAM = ∠EAM hay ∠MAD = ∠MAE.

Xét hai tam giác vuông ∣
∂ADM (vuông tại D) và ∣
∂AEM (vuông tại E) có:

• AM là cạnh chung (cạnh huyền).
• ∣
  ∠MAD = ∠MAE (chứng minh trên).

Do đó, ∣
∂ADM ≌ ∂AEM (cạnh huyền – góc nhọn).

b) Chứng minh tứ giác ADME là hình gì? Giải thích.

1. Phân tích mục tiêu: Chúng ta cần xác định loại hình tứ giác ADME và đưa ra lập luận chặt chẽ.

2. Khai thác kết quả từ câu a và giả thiết:

   

   💡 Gợi ý lựa chọn tốt nhất cho: Sản Phẩm Đề Xuất

   Đang có chương trình ưu đãi và giảm giá độc quyền trên Sét 3 Cuộn Túi Đựng Rác Tự Phân Huỷ Tiện Lợi Rễ Sử Dụng. Khám phá ngay!

   Xem Chi Tiết & Nhận Ưu Đãi →
   • Từ câu a), ∣
     ∂ADM ≌ ∂AEM. Từ đó suy ra AD = AE (hai cạnh tương ứng) và MD = ME (hai cạnh tương ứng).
   • Theo giả thiết, MD ∵ AB → ∣
     ∠ADM = 90^o.
   • Theo giả thiết, ME ∵ AC → ∣
     ∠AEM = 90^o.
   • Chúng ta đã biết AM là phân giác của ∠BAC, tức là ∠DAE < 180^o.

3. Kiểm tra các dấu hiệu nhận biết hình:

   • Hình thang: Không có dấu hiệu song song rõ ràng.
   • Hình bình hành: Không có dấu hiệu các cặp cạnh đối song song hoặc bằng nhau rõ ràng.
   • Hình thoi: Có AD = AE và MD = ME, nhưng không có dấu hiệu các cạnh bằng nhau hết hoặc hai đường chéo vuông góc.
   • Hình chữ nhật: Có hai góc vuông liền kề ∣
     ∠ADM = 90^o và ∠AEM = 90^o. Nhưng cần thêm một góc vuông nữa hoặc hai đường chéo bằng nhau.
   • Hình vuông: Cần là hình chữ nhật và có thêm tính chất của hình thoi (4 cạnh bằng nhau hoặc đường chéo vuông góc).

   Xét tứ giác ADME có:

   • ∣
     ∠ADM = 90^o (MD ∵ AB)
   • ∣
     ∠AEM = 90^o (ME ∵ AC)
   • ∣
     ∠DAE (hay ∠BAC) là góc của tam giác ABC, không nhất thiết là 90^o.

   Tổng ba góc trong tứ giác ADME là ∣
   ∠ADM + ∠AEM + ∠DAE = 90^o + 90^o + ∠DAE = 180^o + ∠DAE.

   Vậy ∣
   ∠DME = 360^o – (180^o + ∠DAE) = 180^o – ∠DAE.

   Từ ∣
   ∂ADM ≌ ∂AEM suy ra MD = ME. Tứ giác có hai cạnh kề bằng nhau (MD=ME) không phải là dấu hiệu nhận biết hình đặc biệt nào.

   Tuy nhiên, chúng ta có 3 góc của tứ giác ADME là ∣
   ∠ADM = 90^o, ∠AEM = 90^o.

   Chúng ta còn có AM là phân giác của ∠DAE (hay ∠BAC).

   Một tứ giác có hai cạnh đối song song là hình thang. Một tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành.

   Với các thông tin có được, ADME có hai góc đối là ∣
   ∠ADM và ∠AEM không đối nhau.

   Chúng ta có MD ∵ AB và ME ∵ AC. Trong trường hợp tổng quát, ADME KHÔNG PHẢI là hình chữ nhật hay hình vuông (trừ khi ∠BAC = 90^o).

   Tuy nhiên, một tính chất quan trọng từ AM là phân giác của ∠BAC và MD ∵ AB, ME ∵ AC. Đây là tính chất của điểm nằm trên tia phân giác thì cách đều hai cạnh của góc.

   Thực ra, tứ giác này thường là **Hình diều** (hoặc hình thang vuông nếu có thêm điều kiện song song), nhưng trong chương trình lớp 8 Cánh Diều, “Hình diều” không phải là một loại tứ giác đặc biệt được học sâu. Các hình đặc biệt bao gồm hình thang, hình thang cân, hình thang vuông, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông.

   Có lẽ đề bài muốn hỏi liệu nó có phải là một trong các hình cơ bản đã học hay không. Nếu ∠BAC = 90 độ thì nó là hình chữ nhật, nếu AB=AC (cân) thì nó vẫn là hình chữ nhật. Nhưng đề cho tam giác ABC cân tại A, không cho góc A bằng 90 độ.

   Xét lại: Tứ giác ADME có ∠ADM = ∠AEM = 90^o.

   Nếu ADME là hình thang, thì cần có AD // ME hoặc DM // AE. Không có thông tin này.

   Nếu AM là phân giác của ∠BAC, thì M cách đều AB và AC, tức MD = ME.

   Từ ∣
   ∂ADM ≌ ∂AEM (câu a), ta có AD = AE.

   Vậy tứ giác ADME có hai cặp cạnh kề bằng nhau (AD=AE và MD=ME). Đây chính là định nghĩa của một **hình diều** (deltoid).

   Tuy nhiên, nếu xét các hình đặc biệt trong chương trình lớp 8, đôi khi người ta sẽ coi nó là một dạng “tứ giác lồi” và tập trung vào các tính chất của nó hơn là tên gọi đặc biệt nếu nó không rơi vào các loại hình thang, bình hành, chữ nhật, thoi, vuông.

   Nhưng nếu buộc phải chọn một loại hình đặc biệt, **hình diều** là phù hợp nhất.

   Tuy nhiên, một cách phổ biến hơn để giải thích là nếu tứ giác có 2 góc vuông kề nhau và hai cạnh kề khác cũng bằng nhau, nó sẽ là một loại hình đặc biệt khi góc A là 90 độ.

   Nếu đề bài là một bài thi chuẩn, thông thường sẽ có một trường hợp đặc biệt hơn. Ví dụ, nếu ∠BAC = 90^o, thì ADME là hình chữ nhật (có 3 góc vuông).

   Trong bối cảnh bài thi học kỳ 1, nếu không có thêm thông tin về ∠BAC, việc gọi nó là “hình diều” có thể không phải là đáp án mong muốn nếu học sinh chưa học sâu về hình diều.

   Hãy xem lại Cánh Diều Lớp 8 về các loại tứ giác. Các em học hình thang, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông. Hình diều thường không được giới thiệu là một “hình đặc biệt” chính thức.

   Vậy, nếu không có thêm điều kiện nào, ADME chỉ có thể được mô tả bằng các tính chất đã biết.

   Tính chất: có AM là đường chéo, và MD = ME, AD = AE.

   Nếu đề bài cho AB = AC, và AM là đường phân giác, thì MD=ME.

   Nếu không có thêm thông tin nào khác, chúng ta chỉ có thể kết luận rằng ADME là một tứ giác có các cạnh kề AD=AE và MD=ME. Đây là tính chất của hình diều. Tuy nhiên, nếu muốn nó là một hình đã học, thường sẽ có thêm một góc vuông hoặc cạnh song song.

   Giả sử đề muốn một hình đặc biệt đã học: Nếu ∠BAC = 90^o (tức ∠DAE = 90^o), thì tứ giác ADME sẽ có ba góc vuông: ∠ADM = 90^o, ∠AEM = 90^o, ∠DAE = 90^o. Một tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật. Nhưng đề không cho ∠BAC = 90^o.

   Trong trường hợp tổng quát, với các dữ kiện đã cho, ADME không thể là hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi hay hình vuông một cách mặc định.

   Tuy nhiên, khi MD ∵ AB và ME ∵ AC, và AM là phân giác của ∠BAC, thì M cách đều AB và AC (MD=ME).

   Có lẽ có một sự nhầm lẫn trong việc đặt câu hỏi hoặc thiếu dữ kiện để ra một loại hình đã học. Nhưng theo đúng những gì chứng minh được: AD=AE và MD=ME. Đây là **hình diều**.

   Nếu không chấp nhận “hình diều”, thì ta chỉ có thể mô tả tính chất của nó mà không gọi tên đặc biệt.

   Trong các bài thi THCS, nếu không rơi vào hình bình hành/chữ nhật/thoi/vuông, thường có hai trường hợp: là hình thang, hoặc là một tứ giác chỉ có các tính chất cơ bản.

   Vì tính AD=AE và MD=ME, nó có trục đối xứng là AM. Đây là tính chất của hình diều.

   Vậy, chúng ta sẽ trả lời là “hình diều” và giải thích các tính chất dẫn đến nó.

Trình bày lời giải:

Từ kết quả câu a), ta có ∣
∂ADM ≌ ∂AEM.

→ AD = AE (hai cạnh tương ứng). (1)

→ MD = ME (hai cạnh tương ứng). (2)

Xét tứ giác ADME có:

• Hai cạnh kề AD và AE bằng nhau (từ (1)).
• Hai cạnh kề MD và ME bằng nhau (từ (2)).
• Hai cặp cạnh kề này có chung đỉnh A (AD, AE) và chung đỉnh M (MD, ME).

Một tứ giác có hai cặp cạnh kề bằng nhau là một hình diều.

Kết luận: Tứ giác ADME là hình diều.

Giải thích: Vì tứ giác ADME có hai cặp cạnh kề bằng nhau (AD = AE và MD = ME).

(Thầy/cô lưu ý: Hình diều là một loại tứ giác đặc biệt được định nghĩa là tứ giác có hai cặp cạnh kề bằng nhau. Các em cần nhớ định nghĩa này nhé!)

Bài 3 (2,0 điểm):

Tìm giá trị của x, biết:

(x – 3)² – (x – 3)(x + 3) = 0

Hướng dẫn giải chi tiết Bài 3:

1. Nhận diện dạng bài: Đây là bài toán tìm x trong một phương trình chứa đa thức. Phương pháp chung là phân tích đa thức thành nhân tử để đưa về dạng tích bằng 0, hoặc khai triển và rút gọn để đưa về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai đơn giản.

2. Phân tích phương trình:

   Chúng ta có biểu thức (x – 3)² – (x – 3)(x + 3) = 0.

   Nhận thấy cả hai số hạng đều có nhân tử chung là (x – 3).

3. Đặt nhân tử chung:

   (x – 3) * [(x – 3) – (x + 3)] = 0

4. Rút gọn biểu thức trong ngoặc vuông:

   (x – 3) – (x + 3) = x – 3 – x – 3 = (x – x) + (-3 – 3) = 0 + (-6) = -6

5. Thay vào phương trình:

   (x – 3) * (-6) = 0

6. Giải phương trình tích: Một tích bằng 0 khi ít nhất một trong các thừa số bằng 0.

   Vì -6 ≠ 0, nên thừa số còn lại phải bằng 0:

   x – 3 = 0

7. Tìm x:

   x = 0 + 3

   x = 3

Kết luận: Vậy giá trị của x cần tìm là 3.

(Thầy/cô lưu ý: Khi giải phương trình, việc đặt nhân tử chung giúp chúng ta tránh phải khai triển các đa thức phức tạp và giảm thiểu sai sót. Hãy luôn tìm nhân tử chung trước khi nghĩ đến việc khai triển các hằng đẳng thức nhé!)

Các em thân mến! Hy vọng bài hướng dẫn giải chi tiết này đã giúp các em củng cố thêm kiến thức và tự tin hơn khi đối mặt với đề thi học kì. Hãy nhớ rằng, sự kiên trì và phương pháp học tập đúng đắn là chìa khóa để đạt được thành công. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy/cô nhé!

Chúc các em ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả cao nhất!