Chào các em học sinh lớp 8 yêu quý!
Thầy/Cô rất vui được đồng hành cùng các em trong hành trình chinh phục môn Toán. Chương “Phân thức đại số” là một chương quan trọng, đặt nền tảng cho nhiều kiến thức Toán học ở các lớp sau. Để giúp các em củng cố kiến thức, tự tin hơn khi đối mặt với các bài kiểm tra, hôm nay Thầy/Cô sẽ cung cấp một đề kiểm tra 1 tiết mẫu cùng với hướng dẫn giải chi tiết từng bước. Hãy cùng ôn tập thật kỹ nhé!
Đề kiểm tra 1 tiết Toán 8 – Chương Phân thức đại số
Thời gian làm bài: 45 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (1.0 điểm):
Tìm điều kiện xác định của mỗi phân thức sau:
-
A = \( \frac{3x+5}{2x-4} \)
-
B = \( \frac{x^2+1}{x^2-9} \)
Bài 2 (2.0 điểm):
Rút gọn các phân thức sau:
-
C = \( \frac{6x^2y^3}{18xy^5} \)
-
D = \( \frac{x^2-4x+4}{x^2-4} \)
Bài 3 (2.0 điểm):
Thực hiện các phép tính cộng, trừ phân thức sau:
-
E = \( \frac{x}{2x+6} + \frac{x-1}{x^2+3x} \)
-
F = \( \frac{y}{x^2-xy} – \frac{x}{y^2-xy} \)
Bài 4 (2.0 điểm):
Thực hiện các phép tính nhân, chia phân thức sau:
-
G = \( \frac{x^2-16}{2x+6} \cdot \frac{x+3}{x-4} \)
-
H = \( \frac{x^2-2x}{x^2-4} : \frac{x^2-4x+4}{x^2+2x} \)
Bài 5 (2.0 điểm):
Cho biểu thức: \( P = \left( \frac{1}{x-1} – \frac{x}{x^2-1} \right) : \frac{x}{x+1} \)
-
Rút gọn biểu thức P.
-
Tính giá trị của P khi x = 3.
Bài 6 (1.0 điểm):
Tìm giá trị của x để phân thức \( \frac{2x+1}{x-2} \) có giá trị bằng 3.
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Bài 1 (1.0 điểm): Tìm điều kiện xác định của mỗi phân thức.
Nguyên tắc: Phân thức xác định khi mẫu thức khác 0.
-
A = \( \frac{3x+5}{2x-4} \)
Bước 1: Xác định mẫu thức.
Mẫu thức là: \( 2x-4 \)
Bước 2: Đặt mẫu thức khác 0 và giải tìm x.
\( 2x-4 \neq 0 \)
\( 2x \neq 4 \)
\( x \neq 2 \)
Kết luận: Điều kiện xác định của phân thức A là \( x \neq 2 \).
-
B = \( \frac{x^2+1}{x^2-9} \)
Bước 1: Xác định mẫu thức.
Mẫu thức là: \( x^2-9 \)
Bước 2: Phân tích mẫu thức thành nhân tử (nếu có thể) để dễ giải hơn.
\( x^2-9 = (x-3)(x+3) \) (Áp dụng hằng đẳng thức \( a^2-b^2 = (a-b)(a+b) \))
Bước 3: Đặt mẫu thức khác 0 và giải tìm x.
\( (x-3)(x+3) \neq 0 \)
Điều này xảy ra khi \( x-3 \neq 0 \) và \( x+3 \neq 0 \).
\( x \neq 3 \) và \( x \neq -3 \)
Kết luận: Điều kiện xác định của phân thức B là \( x \neq 3 \) và \( x \neq -3 \).
Bài 2 (2.0 điểm): Rút gọn các phân thức.
Nguyên tắc: Để rút gọn phân thức, ta phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu có thể), sau đó chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.
-
C = \( \frac{6x^2y^3}{18xy^5} \)
Bước 1: Xác định các nhân tử chung ở cả tử và mẫu.
Tử thức: \( 6x^2y^3 \)
Mẫu thức: \( 18xy^5 \)
Nhân tử chung lớn nhất là \( 6xy^3 \) (ước chung lớn nhất của hệ số 6 và 18 là 6; lũy thừa thấp nhất của x là x; lũy thừa thấp nhất của y là \( y^3 \)).
Bước 2: Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.
\( C = \frac{6x^2y^3 \div 6xy^3}{18xy^5 \div 6xy^3} \)
\( C = \frac{x}{3y^2} \)
Điều kiện: Phân thức ban đầu có nghĩa khi \( 18xy^5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 0, y \neq 0 \).
-
D = \( \frac{x^2-4x+4}{x^2-4} \)
Bước 1: Phân tích tử thức thành nhân tử.
Tử thức: \( x^2-4x+4 = (x-2)^2 \) (Áp dụng hằng đẳng thức \( (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 \))
Bước 2: Phân tích mẫu thức thành nhân tử.
Mẫu thức: \( x^2-4 = (x-2)(x+2) \) (Áp dụng hằng đẳng thức \( a^2-b^2 = (a-b)(a+b) \))
Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung và viết kết quả.
\( D = \frac{(x-2)^2}{(x-2)(x+2)} = \frac{(x-2)(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x-2}{x+2} \)
Điều kiện: Phân thức ban đầu có nghĩa khi \( x^2-4 \neq 0 \Rightarrow (x-2)(x+2) \neq 0 \Rightarrow x \neq 2 \) và \( x \neq -2 \).
Bài 3 (2.0 điểm): Thực hiện các phép tính cộng, trừ phân thức.
Nguyên tắc: Để cộng (trừ) các phân thức không cùng mẫu, ta cần quy đồng mẫu thức rồi cộng (trừ) các tử thức và giữ nguyên mẫu thức chung. Lưu ý tìm điều kiện xác định trước khi tính toán.
-
E = \( \frac{x}{2x+6} + \frac{x-1}{x^2+3x} \)
Bước 1: Tìm điều kiện xác định và phân tích các mẫu thức thành nhân tử.
- \( 2x+6 = 2(x+3) \). Điều kiện: \( x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3 \).
- \( x^2+3x = x(x+3) \). Điều kiện: \( x \neq 0 \) và \( x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3 \).
Vậy điều kiện xác định là \( x \neq 0 \) và \( x \neq -3 \).
Bước 2: Tìm Mẫu thức chung (MTC).
MTC = \( 2x(x+3) \).
Bước 3: Quy đồng các phân thức.
\( \frac{x}{2(x+3)} = \frac{x \cdot x}{2(x+3) \cdot x} = \frac{x^2}{2x(x+3)} \)
\( \frac{x-1}{x(x+3)} = \frac{(x-1) \cdot 2}{x(x+3) \cdot 2} = \frac{2x-2}{2x(x+3)} \)
Bước 4: Cộng các phân thức.
\( E = \frac{x^2}{2x(x+3)} + \frac{2x-2}{2x(x+3)} = \frac{x^2+2x-2}{2x(x+3)} \)
Kết luận: \( E = \frac{x^2+2x-2}{2x(x+3)} \) (với \( x \neq 0, x \neq -3 \)).
-
F = \( \frac{y}{x^2-xy} – \frac{x}{y^2-xy} \)
Bước 1: Tìm điều kiện xác định và phân tích các mẫu thức thành nhân tử.
- \( x^2-xy = x(x-y) \). Điều kiện: \( x \neq 0 \) và \( x-y \neq 0 \Rightarrow x \neq y \).
- \( y^2-xy = y(y-x) = -y(x-y) \). Điều kiện: \( y \neq 0 \) và \( x-y \neq 0 \Rightarrow x \neq y \).
Vậy điều kiện xác định là \( x \neq 0, y \neq 0, x \neq y \).
Bước 2: Tìm Mẫu thức chung (MTC).
💡 Gợi ý lựa chọn tốt nhất cho: Sản Phẩm Đề Xuất
Đang có chương trình ưu đãi và giảm giá độc quyền trên Tẩy Dầu Mỡ Nhà Bếp, Hút Mùi Mặt Bếp Gas Bếp Từ Đáy Xoong Chảo HiKit 500g. Khám phá ngay!
Xem Chi Tiết & Nhận Ưu Đãi →MTC = \( xy(x-y) \).
Bước 3: Quy đồng các phân thức và thực hiện phép trừ.
Trước hết, biến đổi phép trừ thành cộng với phân thức nghịch đảo dấu mẫu để có mẫu chung là \( xy(x-y) \):
\( F = \frac{y}{x(x-y)} – \frac{x}{-y(x-y)} = \frac{y}{x(x-y)} + \frac{x}{y(x-y)} \)
Quy đồng:
\( F = \frac{y \cdot y}{x(x-y) \cdot y} + \frac{x \cdot x}{y(x-y) \cdot x} = \frac{y^2}{xy(x-y)} + \frac{x^2}{xy(x-y)} \)
Bước 4: Cộng các tử thức.
\( F = \frac{y^2+x^2}{xy(x-y)} \)
Kết luận: \( F = \frac{x^2+y^2}{xy(x-y)} \) (với \( x \neq 0, y \neq 0, x \neq y \)).
Bài 4 (2.0 điểm): Thực hiện các phép tính nhân, chia phân thức.
Nguyên tắc:
- Phép nhân: \( \frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D} \). Sau đó rút gọn.
- Phép chia: \( \frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} \). Sau đó thực hiện phép nhân và rút gọn.
- Luôn tìm điều kiện xác định (tất cả các mẫu thức khác 0, và tử của số chia cũng khác 0).
-
G = \( \frac{x^2-16}{2x+6} \cdot \frac{x+3}{x-4} \)
Bước 1: Tìm điều kiện xác định và phân tích các tử và mẫu thành nhân tử.
- \( x^2-16 = (x-4)(x+4) \)
- \( 2x+6 = 2(x+3) \). Điều kiện: \( x \neq -3 \).
- \( x+3 \)
- \( x-4 \). Điều kiện: \( x \neq 4 \).
Vậy điều kiện xác định là \( x \neq -3 \) và \( x \neq 4 \).
Bước 2: Thực hiện phép nhân và rút gọn.
\( G = \frac{(x-4)(x+4)}{2(x+3)} \cdot \frac{x+3}{x-4} \)
\( G = \frac{(x-4)(x+4)(x+3)}{2(x+3)(x-4)} \)
Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung \( (x-4)(x+3) \).
\( G = \frac{x+4}{2} \)
Kết luận: \( G = \frac{x+4}{2} \) (với \( x \neq -3, x \neq 4 \)).
-
H = \( \frac{x^2-2x}{x^2-4} : \frac{x^2-4x+4}{x^2+2x} \)
Bước 1: Tìm điều kiện xác định và phân tích các tử và mẫu thành nhân tử.
- Phân thức thứ nhất:
- Tử: \( x^2-2x = x(x-2) \)
- Mẫu: \( x^2-4 = (x-2)(x+2) \). Điều kiện: \( x \neq 2, x \neq -2 \).
- Phân thức thứ hai (số chia):
- Tử: \( x^2-4x+4 = (x-2)^2 \). Điều kiện (khi thành mẫu): \( x \neq 2 \).
- Mẫu: \( x^2+2x = x(x+2) \). Điều kiện: \( x \neq 0, x \neq -2 \).
Vậy điều kiện xác định là \( x \neq 0, x \neq 2, x \neq -2 \).
Bước 2: Chuyển phép chia thành phép nhân với phân thức nghịch đảo.
\( H = \frac{x(x-2)}{(x-2)(x+2)} : \frac{(x-2)^2}{x(x+2)} \)
\( H = \frac{x(x-2)}{(x-2)(x+2)} \cdot \frac{x(x+2)}{(x-2)^2} \)
Bước 3: Rút gọn các nhân tử chung.
Trước hết, rút gọn phân thức thứ nhất: \( \frac{x(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x}{x+2} \)
Vậy biểu thức trở thành: \( H = \frac{x}{x+2} \cdot \frac{x(x+2)}{(x-2)^2} \)
\( H = \frac{x \cdot x(x+2)}{(x+2)(x-2)^2} \)
Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung \( (x+2) \).
\( H = \frac{x^2}{(x-2)^2} \)
Kết luận: \( H = \frac{x^2}{(x-2)^2} \) (với \( x \neq 0, x \neq 2, x \neq -2 \)).
- Phân thức thứ nhất:
Bài 5 (2.0 điểm): Rút gọn biểu thức và tính giá trị.
Cho biểu thức: \( P = \left( \frac{1}{x-1} – \frac{x}{x^2-1} \right) : \frac{x}{x+1} \)
-
Rút gọn biểu thức P.
Bước 1: Tìm điều kiện xác định cho toàn bộ biểu thức.
- Mẫu thức trong ngoặc: \( x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 \)
- Mẫu thức trong ngoặc: \( x^2-1 = (x-1)(x+1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 1, x \neq -1 \)
- Mẫu của phân thức chia: \( x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1 \)
- Tử của phân thức chia (sau khi nghịch đảo sẽ thành mẫu): \( x \neq 0 \)
Vậy điều kiện xác định là \( x \neq 0, x \neq 1, x \neq -1 \).
Bước 2: Thực hiện phép trừ trong ngoặc trước.
Mẫu chung của \( \frac{1}{x-1} \) và \( \frac{x}{x^2-1} \) là \( (x-1)(x+1) \).
\( \frac{1}{x-1} – \frac{x}{(x-1)(x+1)} = \frac{1 \cdot (x+1)}{(x-1)(x+1)} – \frac{x}{(x-1)(x+1)} \)
\( = \frac{x+1-x}{(x-1)(x+1)} = \frac{1}{(x-1)(x+1)} \)
Bước 3: Thực hiện phép chia.
\( P = \frac{1}{(x-1)(x+1)} : \frac{x}{x+1} \)
\( P = \frac{1}{(x-1)(x+1)} \cdot \frac{x+1}{x} \)
Bước 4: Rút gọn.
\( P = \frac{1 \cdot (x+1)}{(x-1)(x+1) \cdot x} = \frac{1}{x(x-1)} \)
Kết luận: Biểu thức P rút gọn là \( P = \frac{1}{x(x-1)} \).
-
Tính giá trị của P khi x = 3.
Bước 1: Kiểm tra điều kiện xác định.
Với \( x=3 \), ta thấy \( 3 \neq 0, 3 \neq 1, 3 \neq -1 \). Vậy \( x=3 \) thỏa mãn điều kiện xác định.
Bước 2: Thay \( x=3 \) vào biểu thức P đã rút gọn.
\( P = \frac{1}{3(3-1)} \)
\( P = \frac{1}{3 \cdot 2} \)
\( P = \frac{1}{6} \)
Kết luận: Khi \( x=3 \), giá trị của biểu thức P là \( \frac{1}{6} \).
Bài 6 (1.0 điểm): Tìm giá trị của x để phân thức có giá trị bằng 3.
Tìm giá trị của x để phân thức \( \frac{2x+1}{x-2} \) có giá trị bằng 3.
Bước 1: Đặt điều kiện xác định cho phân thức.
Mẫu thức \( x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2 \).
Bước 2: Lập phương trình từ yêu cầu đề bài.
\( \frac{2x+1}{x-2} = 3 \)
Bước 3: Giải phương trình.
Nhân chéo hai vế (quy đồng mẫu và bỏ mẫu, vì mẫu thức đã được đặt điều kiện khác 0):
\( 2x+1 = 3(x-2) \)
Mở ngoặc:
\( 2x+1 = 3x-6 \)
Chuyển các số hạng chứa x về một vế, các hằng số về vế còn lại:
\( 1+6 = 3x-2x \)
\( 7 = x \)
\( x = 7 \)
Bước 4: So sánh kết quả với điều kiện xác định.
Giá trị \( x=7 \) thỏa mãn điều kiện \( x \neq 2 \).
Kết luận: Vậy, khi \( x=7 \) thì phân thức \( \frac{2x+1}{x-2} \) có giá trị bằng 3.
Các em thân mến! Hy vọng với đề kiểm tra mẫu và hướng dẫn giải chi tiết này, các em đã nắm vững hơn kiến thức về Phân thức đại số. Hãy luyện tập thật nhiều để thành thạo các dạng bài tập này nhé. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi Thầy/Cô. Chúc các em luôn học tốt và đạt kết quả cao trong học tập!