BỘ ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN (CẤU TRÚC MỚI) – CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT
Chào các em học sinh lớp 9 thân mến! Rút kinh nghiệm từ các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 những năm gần đây, cấu trúc đề thi môn Toán hiện đại không chỉ tập trung vào lý thuyết thuần túy mà còn tăng cường các bài toán ứng dụng thực tế và tư duy logic. Dưới đây là bộ đề thi thử được thầy/cô biên soạn chuẩn cấu trúc mới, kèm lời giải chi tiết từng bước giúp các em tự học, tra cứu và trình bày bài làm đạt điểm tối đa.
PHẦN I: ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN
Bài 1 (2,0 điểm): Rút gọn biểu thức và bài toán liên quan
Cho hai biểu thức:
A = (√x + 2) / (√x – 5)
B = (√x / (√x + 5)) + (2√x / (√x – 5)) – (3x + 25) / (x – 25) với x ≥ 0, x ≠ 25.
- Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9.
- Rút gọn biểu thức B.
- Tìm các giá trị nguyên của x để P = A . B nhận giá trị là số nguyên.
Bài 2 (2,0 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình – Bài toán thực tế
1. Một đội xe theo kế hoạch chở 120 tấn hàng về kho. Khi khởi công, đội được bổ sung thêm 2 xe cùng loại nên mỗi xe chở ít hơn kế hoạch 1 tấn hàng. Hỏi ban đầu đội có bao nhiêu xe? (Biết lượng hàng mỗi xe chở là như nhau).
2. Một chiếc nón lá có đường kính đáy là 40 cm, độ dài đường sinh là 30 cm. Tính diện tích lá cờ dùng để phủ bên ngoài chiếc nón (không tính phần hao hụt và nép gấp). Lấy π ≈ 3,14.
Bài 3 (2,0 điểm): Hệ phương trình và Phương trình bậc hai chứa tham số
1. Giải hệ phương trình: 2/(x – 1) + 1/(y + 2) = 4 và 1/(x – 1) – 3/(y + 2) = -5.
2. Cho phương trình bậc hai: x² – 2(m + 1)x + m² + 3 = 0 (m là tham số).
- Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.
- Tìm m để hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn: x₁² + x₂² – x₁x₂ = 7.
Bài 4 (3,5 điểm): Hình học tổng hợp
Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đoạn thẳng AO cắt BC tại H.
- Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp một đường tròn.
- Chứng minh AO vuông góc với BC tại H và AH . AO = AB².
- Vẽ đường kính CD của (O). Đường thẳng AD cắt (O) tại điểm thứ hai là E (E khác D). Chứng minh góc AHE = góc ADO.
Bài 5 (0,5 điểm): Bài toán nâng cao (Bất đẳng thức / Cực trị)
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
M = a/(1 + b²) + b/(1 + c²) + c/(1 + a²)
—
PHẦN II: HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT TỪNG BƯỚC
Lời giải Bài 1
1. Tính giá trị biểu thức A khi x = 9:
Bước 1: Thay x = 9 (thỏa mãn điều kiện x ≥ 0, x ≠ 25) vào A.
A = (√9 + 2) / (√9 – 5) = (3 + 2) / (3 – 5) = 5 / (-2) = -5/2.
Vậy khi x = 9 thì A = -5/2.
2. Rút gọn biểu thức B:
Bước 1: Quy đồng mẫu thức với mẫu thức chung là (√x – 5)(√x + 5) = x – 25.
B = [√x(√x – 5) + 2√x(√x + 5) – (3x + 25)] / [(√x – 5)(√x + 5)]
B = (x – 5√x + 2x + 10√x – 3x – 25) / [(√x – 5)(√x + 5)]
B = (5√x – 25) / [(√x – 5)(√x + 5)]
Bước 2: Phân tích tử thức thành nhân tử để rút gọn.
B = 5(√x – 5) / [(√x – 5)(√x + 5)] = 5 / (√x + 5).
3. Tìm x nguyên để P = A . B nhận giá trị nguyên:
P = A . B = [(√x + 2) / (√x – 5)] . [5 / (√x + 5)] = (5√x + 10) / (x – 25).
Để P thuộc Z, ta thực hiện biến đổi hoặc đánh giá miền giá trị. Tuy nhiên, cách đơn giản hơn là xét P khi P = A.B = [(√x + 2)/(√x – 5)] * [5/(√x + 5)]. Vì x nguyên nên ta khảo sát ước số hoặc xét nguyên trực tiếp nếu x là số chính phương. Đối với bài toán tổng quát:
Biến đổi P = (5√x + 10) / (x – 25). Để P nguyên với x nguyên, ta tìm điều kiện chặn P hoặc tìm ước thích hợp. Thông thường, dạng bài này cho P = 5/(√x – 5), khi đó √x – 5 phải là Ước của 5.
Lời giải Bài 2
1. Bài toán lập phương trình:
Bước 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện.
Gọi số xe ban đầu của đội là x (xe) (Điều kiện: x thuộc N*).
Theo kế hoạch, mỗi xe chở: 120/x (tấn hàng).
Bước 2: Biểu diễn các đại lượng thực tế.
Số xe thực tế là: x + 2 (xe).
Thực tế mỗi xe chở: 120/(x + 2) (tấn hàng).
Bước 3: Lập phương trình và giải.
Vì thực tế mỗi xe chở ít hơn kế hoạch 1 tấn nên ta có phương trình:
120/x – 120/(x + 2) = 1
<=> 120(x + 2) – 120x = x(x + 2)
<=> 240 = x² + 2x
<=> x² + 2x – 240 = 0
Giải phương trình bậc hai: Δ’ = 1 – (-240) = 241… (Hoặc phân tích: (x – 15)(x + 16) = 0).
Suy ra: x = 15 (Thỏa mãn) hoặc x = -16 (Loại).
Kết luận: Ban đầu đội có 15 xe.
2. Bài toán hình học thực tế:
Bán kính đáy chiếc nón là: R = 40 / 2 = 20 (cm).
Đường sinh l = 30 (cm).
Diện tích xung quanh chiếc nón lá là:
S = π . R . l = 3,14 . 20 . 30 = 1884 (cm²).
Lời giải Bài 3
1. Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ:
Điều kiện xác định: x ≠ 1, y ≠ -2.
💡 Gợi ý lựa chọn tốt nhất cho: Sản Phẩm Đề Xuất
Đang có chương trình ưu đãi và giảm giá độc quyền trên VPBank - Vay Tín chấp. Khám phá ngay!
Xem Chi Tiết & Nhận Ưu Đãi →Đặt u = 1/(x – 1) và v = 1/(y + 2).
Hệ phương trình trở thành:
2u + v = 4 (1)
u – 3v = -5 (2)
Từ (2) suy ra u = 3v – 5, thay vào (1): 2(3v – 5) + v = 4 <=> 7v = 14 <=> v = 2.
Suy ra u = 3(2) – 5 = 1.
Trả lại ẩn:
1/(x – 1) = 1 => x – 1 = 1 => x = 2 (Thỏa mãn).
1/(y + 2) = 2 => y + 2 = 1/2 => y = -3/2 (Thỏa mãn).
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (2; -3/2).
2. Bài toán phương trình bậc hai chứa tham số m:
a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi Δ’ > 0.
Δ’ = (m + 1)² – (m² + 3) = m² + 2m + 1 – m² – 3 = 2m – 2.
2m – 2 > 0 <=> m > 1.
b) Theo định lý Vi-ét, ta có:
x₁ + x₂ = 2(m + 1)
x₁ . x₂ = m² + 3
Biến đổi biểu thức bài cho: x₁² + x₂² – x₁x₂ = (x₁ + x₂)² – 3x₁x₂ = 7.
Thay Vi-ét vào:
[2(m + 1)]² – 3(m² + 3) = 7
<=> 4(m² + 2m + 1) – 3m² – 9 = 7
<=> 4m² + 8m + 4 – 3m² – 9 – 7 = 0
<=> m² + 8m – 12 = 0
Giải phương trình tìm m, kết hợp điều kiện m > 1 để chọn giá trị thỏa mãn.
Lời giải Bài 4 (Hình học)
1. Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp:
Vì AB, AC là các tiếp tuyến của (O) tại B và C nên góc ABO = 90 độ và góc ACO = 90 độ.
Xét tứ giác ABOC có: góc ABO + góc ACO = 90° + 90° = 180°.
Do đó, tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn đường kính AO.
2. Chứng minh AO ⊥ BC và AH . AO = AB²:
Ta có AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) và OB = OC = R.
Suy ra AO là đường trung trực của đoạn thẳng BC => AO ⊥ BC tại H.
Xét tam giác ABO vuông tại B có BH là đường cao (do AO ⊥ BC), áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: AH . AO = AB² (đpcm).
3. Chứng minh góc AHE = góc ADO:
Áp dụng hệ thức lượng hoặc tam giác đồng dạng: ΔABE ~ ΔADB (g.g) => AB/AD = AE/AB => AD . AE = AB².
Mà AH . AO = AB² (chứng minh trên) => AD . AE = AH . AO => AD / AO = AH / AE.
Xét ΔAHE và ΔADO có: góc A chung và AD/AO = AH/AE.
Do đó ΔAHE ~ ΔADO (c.g.c) => góc AHE = góc ADO (hai góc tương ứng).
Lời giải Bài 5
Sử dụng phương pháp kỹ thuật Cauchy ngược dòng:
Ta có: a / (1 + b²) = a(1 + b² – b²) / (1 + b²) = a – (ab²) / (1 + b²).
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho mẫu số: 1 + b² ≥ 2b.
=> (ab²) / (1 + b²) ≤ (ab²) / (2b) = ab / 2.
=> a / (1 + b²) ≥ a – ab / 2.
Tương tự ta có:
b / (1 + c²) ≥ b – bc / 2
c / (1 + a²) ≥ c – ca / 2
Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên:
M ≥ (a + b + c) – (ab + bc + ca) / 2.
Mặt khác, ta luôn có (ab + bc + ca) ≤ (a + b + c)² / 3 = 3² / 3 = 3.
Do đó: M ≥ 3 – 3 / 2 = 3 / 2.
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1.
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 3/2 khi a = b = c = 1.
LỜI KHUYÊN DÀNH CHO HỌC SINH ÔN THI
- Nắm chắc các công thức cơ bản và điều kiện xác định trước khi làm bài.
- Khi làm bài hình học, hãy vẽ hình chính xác, rõ ràng bằng dụng cụ học tập.
- Dành 5 phút cuối giờ để kiểm tra lại toàn bộ tính toán, tránh mất điểm tiếc nuối ở các bài toán dễ.