Hướng dẫn giải chi tiết bài tập Toán 9 – Chủ đề: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai
Chào các em học sinh yêu quý! Thầy là giáo viên chuyên luyện thi vào lớp 10 và thầy hiểu rõ những khó khăn các em thường gặp phải trong quá trình học Toán. Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau “mổ xẻ” một dạng bài tập cực kỳ quan trọng và gần như chắc chắn sẽ có mặt trong đề thi tuyển sinh lớp 10: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai. Dạng bài này đòi hỏi các em phải nắm vững kiến thức về căn bậc hai, phân tích đa thức thành nhân tử, quy đồng mẫu số và giải phương trình. Chúng ta hãy cùng nhau đi qua một bài tập mẫu thật chi tiết nhé!
Bài tập mẫu:
Cho biểu thức:
A = (√x / (√x – 1) – 1 / (x – √x)) : (√x + 1) / (x – 1)
với điều kiện x > 0 và x ≠ 1.
- Rút gọn biểu thức A.
- Tìm giá trị của x để A = 1/2.
Phân tích và hướng dẫn giải chi tiết:
Phần 1: Rút gọn biểu thức A
Mục tiêu: Biến đổi biểu thức A về dạng đơn giản nhất. Để làm được điều này, chúng ta cần thực hiện từng bước một cách cẩn thận, đặc biệt lưu ý đến các phép biến đổi về căn bậc hai và phân tích mẫu số.
- Bước 1: Phân tích mẫu số và xác định Mẫu thức chung (MTC) trong dấu ngoặc đơn.
Biểu thức A có dạng P : Q, trong đó P là biểu thức trong ngoặc đơn. Hãy tập trung vào P trước.
P = √x / (√x – 1) – 1 / (x – √x)
- Mẫu số thứ nhất là: √x – 1
- Mẫu số thứ hai là: x – √x. Chúng ta nhận thấy x – √x có thể phân tích được:
- Như vậy, Mẫu thức chung (MTC) của hai phân thức trong ngoặc sẽ là √x (√x – 1).
x – √x = √x . √x – √x . 1 = √x (√x – 1)
- Bước 2: Quy đồng mẫu số và thực hiện phép trừ trong ngoặc đơn.
Để quy đồng, phân thức thứ nhất √x / (√x – 1) cần nhân cả tử và mẫu với √x.
P = (√x . √x) / (√x (√x – 1)) – 1 / (√x (√x – 1))
P = x / (√x (√x – 1)) – 1 / (√x (√x – 1))
Bây giờ, hai phân thức đã cùng mẫu, ta thực hiện phép trừ tử số:
P = (x – 1) / (√x (√x – 1))
- Bước 3: Tiếp tục rút gọn tử số của biểu thức P.
Tử số x – 1 là một hằng đẳng thức đáng nhớ: A2 – B2 = (A – B)(A + B).
Ở đây, x có thể coi là (√x)2 và 1 là 12.
Vậy: x – 1 = (√x – 1)(√x + 1)
Thay vào biểu thức P:
P = ((√x – 1)(√x + 1)) / (√x (√x – 1))
Vì điều kiện x ≠ 1, nên √x – 1 ≠ 0. Ta có thể rút gọn nhân tử (√x – 1) ở cả tử và mẫu:
P = (√x + 1) / √x
Đây là biểu thức đã được rút gọn của phần trong ngoặc.
- Bước 4: Biến đổi biểu thức chia.
Quay lại biểu thức A = P : Q. Chúng ta đã rút gọn P. Bây giờ, hãy nhìn vào Q:
Q = (√x + 1) / (x – 1)
Tương tự như Bước 3, mẫu số x – 1 có thể phân tích thành (√x – 1)(√x + 1).
Q = (√x + 1) / ((√x – 1)(√x + 1))
Vì điều kiện x ≠ 1, nên √x + 1 ≠ 0. Ta có thể rút gọn nhân tử (√x + 1) ở cả tử và mẫu:
Q = 1 / (√x – 1)
- Bước 5: Thực hiện phép chia.
Phép chia phân thức được thực hiện bằng cách nhân với phân thức nghịch đảo:
A = P : Q = P . (1/Q)
A = ((√x + 1) / √x) : (1 / (√x – 1))
A = ((√x + 1) / √x) . ((√x – 1) / 1)
A = (√x + 1)(√x – 1) / √x
Tiếp tục sử dụng hằng đẳng thức A2 – B2 = (A – B)(A + B) ở tử số:
A = (x – 1) / √x
💡 Gợi ý lựa chọn tốt nhất cho: Sản Phẩm Đề Xuất
Đang có chương trình ưu đãi và giảm giá độc quyền trên BỘ DỤNG CỤ 46 CHI TIẾT, BỘ DỤNG CỤ MỞ BU LÔNG ỐC VÍT ĐA NĂNG. Khám phá ngay!
Xem Chi Tiết & Nhận Ưu Đãi →Đây là kết quả rút gọn cuối cùng của biểu thức A.
Kết luận phần 1: A = (x – 1) / √x
Phần 2: Tìm giá trị của x để A = 1/2
Mục tiêu: Giải phương trình (x – 1) / √x = 1/2 và tìm x thỏa mãn điều kiện.
- Bước 1: Thiết lập phương trình.
Với biểu thức A đã được rút gọn, ta có:
(x – 1) / √x = 1/2
- Bước 2: Giải phương trình.
Để giải phương trình này, ta có thể nhân chéo:
2(x – 1) = 1 . √x
2x – 2 = √x
Để giải phương trình chứa căn, ta cần đặt √x = t (với t ≥ 0). Khi đó x = t2.
Phương trình trở thành:
2t2 – 2 = t
Chuyển tất cả các hạng tử về một vế để đưa về phương trình bậc hai:
2t2 – t – 2 = 0
Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai Ax2 + Bx + C = 0:
Δ = B2 – 4AC
t = (-B ± √Δ) / (2A)
Ở đây A=2, B=-1, C=-2.
Δ = (-1)2 – 4 . 2 . (-2) = 1 + 16 = 17
Vì Δ > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt:
t1 = (1 + √17) / (2 . 2) = (1 + √17) / 4
t2 = (1 – √17) / (2 . 2) = (1 – √17) / 4
- Bước 3: Kiểm tra điều kiện và tìm x.
Nhớ rằng chúng ta đặt √x = t và điều kiện là t ≥ 0.
- Với t1 = (1 + √17) / 4: Giá trị này lớn hơn 0 (vì √17 > 1), nên nó thỏa mãn điều kiện t ≥ 0.
- Với t2 = (1 – √17) / 4: Giá trị này nhỏ hơn 0 (vì √17 ≈ 4.12, nên 1 – √17 là số âm), nên nó KHÔNG thỏa mãn điều kiện t ≥ 0. Loại nghiệm này.
√x = (1 + √17) / 4
x = ((1 + √17) / 4)2
x = (12 + 2 . 1 . √17 + (√17)2) / 16
x = (1 + 2√17 + 17) / 16
x = (18 + 2√17) / 16
x = (9 + √17) / 8
Cuối cùng, ta cần kiểm tra điều kiện ban đầu của đề bài là x > 0 và x ≠ 1.
Giá trị x = (9 + √17) / 8 là một số dương. Để kiểm tra x ≠ 1:
Nếu (9 + √17) / 8 = 1, thì 9 + √17 = 8, suy ra √17 = -1, điều này là vô lý.
Vậy, giá trị x = (9 + √17) / 8 thỏa mãn tất cả các điều kiện.
Kết luận phần 2: Giá trị của x để A = 1/2 là x = (9 + √17) / 8.
Lời khuyên từ thầy giáo:
- Nắm vững hằng đẳng thức: Đặc biệt là (A ± B)2 và A2 – B2. Chúng xuất hiện rất nhiều trong bài toán căn bậc hai.
- Phân tích đa thức thành nhân tử: Đây là chìa khóa để rút gọn. Hãy luôn tìm cách phân tích mẫu số để tìm MTC hoặc rút gọn các nhân tử chung.
- Kiểm tra điều kiện: Luôn luôn nhớ kiểm tra điều kiện xác định của biểu thức (x > 0, x ≠ 1,…) sau khi tìm được nghiệm. Đây là lỗi phổ biến nhất khiến học sinh mất điểm.
- Cẩn thận với dấu: Một dấu cộng/trừ sai có thể dẫn đến kết quả hoàn toàn khác.
- Trình bày khoa học: Viết rõ ràng từng bước, sử dụng các ký hiệu toán học chính xác. Một bài làm sạch đẹp giúp các em tự kiểm tra và giáo viên dễ chấm điểm hơn.
Chúc các em học tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới! Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!