LỚP 9

Tuyển tập 5 đề thi thử Toán vào lớp 10 có lời giải chi tiết và mẹo

🔍 Tìm kiếm thông tin tại khu vực Đà Nẵng:




Tuyển tập 5 Đề thi thử Toán vào lớp 10: Lời giải chi tiết và Mẹo học hiệu quả

Chào các em học sinh yêu quý! Thầy là một giáo viên chuyên luyện thi vào lớp 10, thầy hiểu rõ những áp lực và băn khoăn của các em trong giai đoạn ôn thi quan trọng này. Để giúp các em tự tin chinh phục kỳ thi sắp tới, thầy đã tổng hợp và biên soạn tuyển tập các dạng bài tập tiêu biểu, thường gặp nhất trong các đề thi tuyển sinh, kèm theo lời giải chi tiết từng bước và những mẹo nhỏ “bí truyền” giúp các em làm bài nhanh, chính xác hơn.

Tuyển tập này sẽ đi qua 5 “Đề thi thử” giả định, mỗi đề sẽ tập trung vào một số dạng bài nhất định để các em có cái nhìn tổng quan và luyện tập chuyên sâu. Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích từng bước giải, từ việc đặt điều kiện đến sử dụng các công thức, định lý một cách linh hoạt. Hãy chuẩn bị giấy bút và bắt đầu hành trình ôn luyện hiệu quả cùng thầy nhé!

Đề số 1: Đại số cơ bản – Rút gọn biểu thức và Giải phương trình

Bài 1: Rút gọn biểu thức chứa căn và Giải phương trình liên quan

Đề bài:

Cho biểu thức A = (√x / (√x – 2) – 2 / (√x + 2) + 4 / (4 – x)) : (1 / (√x – 2)) với x ≥ 0, x ≠ 4.

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm x để A = -1.

Lời giải chi tiết:

  1. Phân tích điều kiện và mẫu số:

    Điều kiện của bài toán đã cho là x ≥ 0, x ≠ 4. Đây là điều kiện rất quan trọng, phải luôn nhớ để đối chiếu kết quả cuối cùng.

    Ta nhận thấy mẫu số 4 – x có thể viết lại thành – (x – 4). Mà x – 4 lại là dạng hằng đẳng thức (√x)2 – 22 = (√x – 2)(√x + 2).

    Vậy, mẫu số chung nhỏ nhất cho phần trong ngoặc lớn là (x – 4) = (√x – 2)(√x + 2).

    • Mẹo: Luôn ưu tiên phân tích các mẫu số thành nhân tử để tìm mẫu số chung một cách dễ dàng và chính xác nhất. Chú ý các dạng A – B và B – A.

  2. Quy đồng và rút gọn biểu thức trong ngoặc lớn:

    Biểu thức trong ngoặc lớn là: √x / (√x – 2) – 2 / (√x + 2) + 4 / (4 – x)

    Quy đồng các phân thức:

    = (√x * (√x + 2)) / ((√x – 2)(√x + 2)) – (2 * (√x – 2)) / ((√x + 2)(√x – 2)) – 4 / ((√x – 2)(√x + 2)) (Lưu ý: + 4 / (4 – x) trở thành – 4 / (x – 4))

    = (x + 2√x – (2√x – 4) – 4) / (x – 4)

    Khai triển và rút gọn tử số:

    = (x + 2√x – 2√x + 4 – 4) / (x – 4)

    = x / (x – 4)

    • Mẹo: Khi quy đồng mẫu số, hãy cẩn thận với dấu trừ phía trước phân thức. Ví dụ, – (2 * (√x – 2)) sẽ thành -2√x + 4. Sai sót dấu là lỗi thường gặp nhất.

  3. Thực hiện phép chia để tìm biểu thức A đã rút gọn:

    A = (x / (x – 4)) : (1 / (√x – 2))

    Nhớ rằng chia là nhân nghịch đảo:

    A = (x / (x – 4)) * (√x – 2)

    Thay x – 4 = (√x – 2)(√x + 2) vào biểu thức:

    A = x * (√x – 2) / ((√x – 2)(√x + 2))

    Rút gọn (√x – 2) ở cả tử và mẫu (với điều kiện x ≠ 4):

    A = x / (√x + 2)

    • Mẹo: Sau mỗi bước rút gọn, hãy kiểm tra lại các điều kiện của biến để đảm bảo các phép chia không vi phạm.

  4. Kết luận phần a):

    Vậy, biểu thức A sau khi rút gọn là: A = x / (√x + 2) với x ≥ 0, x ≠ 4.

  5. Giải phần b) Tìm x để A = -1:

    Ta có phương trình: x / (√x + 2) = -1

    Vì √x ≥ 0 nên √x + 2 ≥ 2. Do đó √x + 2 luôn dương. Ta có thể nhân chéo:

    x = -(√x + 2)

    x = -√x – 2

    Chuyển tất cả sang một vế:

    x + √x + 2 = 0

    Đặt t = √x. Vì x ≥ 0, nên t ≥ 0. Phương trình trở thành:

    t2 + t + 2 = 0

    Để giải phương trình bậc hai này, ta tính biệt thức Delta (Δ):

    Δ = b2 – 4ac = 12 – 4 * 1 * 2 = 1 – 8 = -7

    Vì Δ = -7 < 0, phương trình bậc hai theo t vô nghiệm.

    Điều này có nghĩa là không có giá trị t nào thỏa mãn, và do đó, không có giá trị x nào thỏa mãn A = -1.

    • Mẹo: Khi đặt ẩn phụ, luôn nhớ đặt điều kiện cho ẩn phụ đó. Sau khi tìm được giá trị của ẩn phụ, phải kiểm tra xem nó có thỏa mãn điều kiện đã đặt hay không.
    • Mẹo: Đối với phương trình bậc hai, việc tính Δ là cách phổ biến nhất để tìm nghiệm. Nếu Δ < 0, phương trình vô nghiệm.

Bài 2: Giải phương trình bậc hai và hệ thức Vi-ét

Đề bài:

Cho phương trình x2 – (m + 3)x + 2m – 1 = 0 (1) (m là tham số).

a) Giải phương trình (1) khi m = 1.

b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 + x2 – x1x2 = 1.

Lời giải chi tiết:

  1. Giải phương trình (1) khi m = 1 (phần a):

    Thay m = 1 vào phương trình (1), ta được:

    x2 – (1 + 3)x + 2(1) – 1 = 0

    x2 – 4x + 1 = 0

    Đây là phương trình bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0 với a = 1, b = -4, c = 1.

    Tính biệt thức Delta (Δ):

    Δ = b2 – 4ac = (-4)2 – 4 * 1 * 1 = 16 – 4 = 12

    Vì Δ = 12 > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt:

    x1 = (-b + √Δ) / (2a) = (4 + √12) / 2 = (4 + 2√3) / 2 = 2 + √3

    x2 = (-b – √Δ) / (2a) = (4 – √12) / 2 = (4 – 2√3) / 2 = 2 – √3

    Vậy, khi m = 1, phương trình có hai nghiệm là x1 = 2 + √3 và x2 = 2 – √3.

    • Mẹo: Luôn nhớ công thức nghiệm của phương trình bậc hai. Đôi khi có thể nhẩm nghiệm (nếu a+b+c=0 hoặc a-b+c=0), nhưng cách tính Delta là tổng quát nhất.

  2. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và thỏa mãn điều kiện (phần b):

    Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, biệt thức Δ phải lớn hơn 0 (Δ > 0).

    Với phương trình x2 – (m + 3)x + 2m – 1 = 0:

    a = 1, b = -(m + 3), c = 2m – 1.

    Δ = b2 – 4ac = (-(m + 3))2 – 4 * 1 * (2m – 1)

    Δ = (m + 3)2 – 4(2m – 1)

    Δ = m2 + 6m + 9 – 8m + 4

    Δ = m2 – 2m + 13

    Điều kiện để có hai nghiệm phân biệt là m2 – 2m + 13 > 0.

    Ta nhận thấy m2 – 2m + 13 = (m2 – 2m + 1) + 12 = (m – 1)2 + 12.

    Vì (m – 1)2 ≥ 0 với mọi m, nên (m – 1)2 + 12 ≥ 12 > 0 với mọi m.

    Vậy, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

    • Mẹo: Khi chứng minh một biểu thức luôn dương, hãy cố gắng đưa nó về dạng bình phương của một biểu thức cộng với một số dương (ví dụ: (A)2 + k với k > 0).

  3. Sử dụng hệ thức Vi-ét:

    Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

    x1 + x2 = -b/a = (m + 3) / 1 = m + 3

    x1x2 = c/a = (2m – 1) / 1 = 2m – 1

  4. Thay vào điều kiện đã cho:

    Ta có điều kiện: x1 + x2 – x1x2 = 1

    Thay các biểu thức của tổng và tích nghiệm vào:

    (m + 3) – (2m – 1) = 1

    m + 3 – 2m + 1 = 1

    -m + 4 = 1

    -m = 1 – 4

    -m = -3

    m = 3

    Giá trị m = 3 thỏa mãn điều kiện Δ > 0 (vì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m).

    Vậy, m = 3 là giá trị cần tìm.

    • Mẹo: Hệ thức Vi-ét là công cụ cực kỳ mạnh để giải các bài toán liên quan đến tổng, tích và các biểu thức đối xứng của nghiệm mà không cần phải giải nghiệm tường minh.
    • Mẹo: Sau khi tìm được m, luôn kiểm tra lại điều kiện để phương trình có nghiệm (Δ ≥ 0 hoặc Δ > 0 tùy bài toán).

Đề số 2: Hàm số và Đồ thị

Bài 1: Giao điểm của Parabol và Đường thẳng

Đề bài:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = (m – 1)x + m + 4 (m là tham số).

Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa mãn x12 + x22 = 20.

Lời giải chi tiết:

  1. Tìm phương trình hoành độ giao điểm:

    Để tìm hoành độ giao điểm của (P) và (d), ta đặt x2 = (m – 1)x + m + 4.

    Chuyển tất cả sang một vế để được phương trình bậc hai:

    x2 – (m – 1)x – (m + 4) = 0 (2)

  2. Điều kiện để có hai giao điểm phân biệt:

    Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt.

    Điều này xảy ra khi biệt thức Δ > 0.

    Với phương trình (2): a = 1, b = -(m – 1), c = -(m + 4).

    Δ = b2 – 4ac = (-(m – 1))2 – 4 * 1 * (-(m + 4))

    Δ = (m – 1)2 + 4(m + 4)

    Δ = m2 – 2m + 1 + 4m + 16

    Δ = m2 + 2m + 17

    Ta cần m2 + 2m + 17 > 0.

    Phân tích m2 + 2m + 17 = (m2 + 2m + 1) + 16 = (m + 1)2 + 16.

    Vì (m + 1)2 ≥ 0 với mọi m, nên (m + 1)2 + 16 ≥ 16 > 0 với mọi m.

    Vậy, phương trình (2) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. Điều này có nghĩa (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

  3. Sử dụng hệ thức Vi-ét và điều kiện hoành độ:

    [ĐA KHO] Thùng 6 Bịch Giấy Rút Cao Cấp Treo Tường Đa Sắc TopGia_tặng 3 móc topgia

    💡 Gợi ý lựa chọn tốt nhất cho: Sản Phẩm Đề Xuất

    Đang có chương trình ưu đãi và giảm giá độc quyền trên [ĐA KHO] Thùng 6 Bịch Giấy Rút Cao Cấp Treo Tường Đa Sắc TopGia_tặng 3 móc topgia. Khám phá ngay!

    Xem Chi Tiết & Nhận Ưu Đãi →

    Theo hệ thức Vi-ét cho phương trình (2):

    x1 + x2 = -b/a = (m – 1) / 1 = m – 1

    x1x2 = c/a = -(m + 4) / 1 = -m – 4

    Điều kiện đã cho là x12 + x22 = 20.

    Ta có công thức: x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2.

    Thay các biểu thức của tổng và tích nghiệm vào:

    (m – 1)2 – 2(-m – 4) = 20

    m2 – 2m + 1 + 2m + 8 = 20

    m2 + 9 = 20

    m2 = 11

    m = ±√11

    Cả hai giá trị m = √11 và m = -√11 đều thỏa mãn điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt (vì Δ > 0 với mọi m).

    • Mẹo: Công thức biến đổi x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 là một công thức “kinh điển” cần thuộc lòng. Tương tự với x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2).

  4. Kết luận:

    Vậy, các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện là m = √11 hoặc m = -√11.

Đề số 3: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bài 1: Bài toán năng suất

Đề bài:

Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc và hoàn thành trong 12 giờ. Nếu làm riêng, đội thứ nhất hoàn thành công việc nhanh hơn đội thứ hai 7 giờ. Hỏi nếu làm riêng, mỗi đội hoàn thành công việc đó trong bao lâu?

Lời giải chi tiết:

  1. Đặt ẩn và điều kiện:

    Gọi thời gian đội thứ nhất làm riêng hoàn thành công việc là x (giờ).

    Vì đội thứ nhất làm nhanh hơn đội thứ hai 7 giờ, nên thời gian đội thứ hai làm riêng hoàn thành công việc là x + 7 (giờ).

    Điều kiện của ẩn: x > 0 (thời gian không thể âm hoặc bằng 0).

  2. Biểu diễn năng suất làm việc:

    Trong 1 giờ:

    • Đội thứ nhất làm được 1/x (phần công việc).
    • Đội thứ hai làm được 1/(x + 7) (phần công việc).

    Hai đội làm chung trong 12 giờ thì hoàn thành công việc.

    Trong 1 giờ, hai đội làm chung được 1/12 (phần công việc).

    • Mẹo: Đối với bài toán năng suất/công việc, việc chuyển đổi từ “thời gian hoàn thành” sang “phần công việc làm được trong 1 đơn vị thời gian” là bước quan trọng nhất.

  3. Lập phương trình:

    Tổng năng suất của hai đội trong 1 giờ bằng năng suất làm chung trong 1 giờ:

    1/x + 1/(x + 7) = 1/12

  4. Giải phương trình:

    Tìm mẫu số chung là 12x(x + 7).

    Quy đồng và khử mẫu:

    12(x + 7) + 12x = x(x + 7)

    12x + 84 + 12x = x2 + 7x

    24x + 84 = x2 + 7x

    Chuyển tất cả sang một vế để được phương trình bậc hai:

    x2 + 7x – 24x – 84 = 0

    x2 – 17x – 84 = 0

    Tính biệt thức Δ:

    Δ = b2 – 4ac = (-17)2 – 4 * 1 * (-84)

    Δ = 289 + 336 = 625

    √Δ = √625 = 25

    Hai nghiệm của phương trình là:

    x1 = (17 + 25) / 2 = 42 / 2 = 21

    x2 = (17 – 25) / 2 = -8 / 2 = -4

  5. Kiểm tra điều kiện và kết luận:

    So sánh với điều kiện x > 0:

    • x1 = 21 thỏa mãn.
    • x2 = -4 không thỏa mãn (loại).

    Vậy, thời gian đội thứ nhất làm riêng là 21 giờ.

    Thời gian đội thứ hai làm riêng là x + 7 = 21 + 7 = 28 giờ.

    • Mẹo: Sau khi tìm ra nghiệm của phương trình, đừng quên đối chiếu với điều kiện thực tế của bài toán (thời gian, số người, độ dài,…) và điều kiện của ẩn (nếu có) để loại bỏ các nghiệm không phù hợp.

Đề số 4: Hình học – Đường tròn

Bài 1: Chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn và các tính chất liên quan

Đề bài:

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm C trên nửa đường tròn (C khác A, B). Kẻ CH vuông góc với AB tại H. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By của nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại C của nửa đường tròn cắt Ax, By lần lượt tại D và E.

a) Chứng minh tứ giác ADOC nội tiếp.

b) Chứng minh MN là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB.

Lời giải chi tiết:

  1. Vẽ hình và phân tích giả thiết:

    Đầu tiên, hãy vẽ một hình thật rõ ràng và chính xác theo đề bài. Ghi chú các yếu tố vuông góc, trung điểm, tiếp tuyến.

    • O là tâm nửa đường tròn, AB là đường kính.
    • C thuộc nửa đường tròn.
    • CH ⊥ AB.
    • M là trung điểm AC, N là trung điểm BC.
    • Ax, By là tiếp tuyến tại A, B.
    • DE là tiếp tuyến tại C, D thuộc Ax, E thuộc By.

  2. Chứng minh tứ giác ADOC nội tiếp (phần a):

    Để chứng minh một tứ giác nội tiếp, ta thường chứng minh tổng hai góc đối bằng 180o, hoặc hai đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới một góc bằng nhau, hoặc bốn điểm cách đều một điểm (tâm đường tròn ngoại tiếp), hoặc góc ngoài bằng góc đối trong.

    Xét tứ giác ADOC:

    • Ta có Ax là tiếp tuyến của nửa đường tròn tại A, nên AD ⊥ OA (hay AB). Do đó, ∠DAO = 90o.
    • DE là tiếp tuyến của nửa đường tròn tại C, nên OC ⊥ DE. Do đó, ∠DCO = 90o.

    Tứ giác ADOC có ∠DAO + ∠DCO = 90o + 90o = 180o.

    Vì tổng hai góc đối ∠DAO và ∠DCO bằng 180o, nên tứ giác ADOC nội tiếp một đường tròn.

    • Mẹo: Khi gặp tiếp tuyến, luôn nhớ rằng bán kính vuông góc với tiếp tuyến tại tiếp điểm. Đây là một tính chất cơ bản và rất hữu ích.

  3. Chứng minh MN là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB (phần b):

    Gọi I là trung điểm của AB (tức là I trùng với O, tâm của nửa đường tròn đường kính AB). Đường tròn đường kính AB chính là đường tròn tâm O bán kính OA.

    Để chứng minh MN là tiếp tuyến của đường tròn tâm O bán kính OA, ta cần chứng minh MN vuông góc với bán kính tại tiếp điểm. Nhưng MN là đoạn thẳng nối trung điểm, không phải tiếp tuyến.

    Xem lại đề bài: “Chứng minh MN là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB”. Có lẽ có sự nhầm lẫn trong cách diễn đạt của đề bài gốc, hoặc nó muốn nói là MN là tiếp tuyến của một đường tròn khác.

    Nếu đề bài là “Chứng minh MN là tiếp tuyến của đường tròn tâm K bán kính KC” hoặc tương tự, sẽ hợp lý hơn.
    Tuy nhiên, với “đường tròn đường kính AB” (tức là đường tròn tâm O bán kính R = OA = OB), thì MN không phải tiếp tuyến.

    Giả sử đề bài muốn nói đến đường tròn nội tiếp tam giác ABC hoặc một đường tròn có tâm là trung điểm của một cạnh nào đó.
    Tuy nhiên, nếu nó là đường tròn tâm O bán kính OA. MN nối trung điểm AC và BC.
    Trong tam giác ABC, MN là đường trung bình của tam giác ABC.
    Suy ra MN // AB và MN = 1/2 AB = OA = OB.

    Nếu MN // AB, thì MN không thể là tiếp tuyến của đường tròn tâm O bán kính OA, vì đường tròn này tiếp xúc với Ax, By, không thể tiếp xúc với đường thẳng song song với AB mà lại cách AB một khoảng như vậy (trừ phi MN trùng với AB, điều này không đúng).

    Khả năng cao đề bài bị nhầm.
    Rất có thể đề bài muốn chứng minh CD + CE = DE hoặc MN // AB hoặc OC là tia phân giác của góc DOE, hoặc MN là tiếp tuyến của đường tròn nào đó.

    Nếu đề bài muốn nói đến “đường tròn đường kính OC”, hay “đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN”.
    Với đề bài như trên, MN // AB. Khoảng cách từ O đến MN là CH/2 (do MN là đường trung bình và CH là đường cao). Khoảng cách này không bằng OA.

    KẾT LUẬN CHO CÂU b): Đề bài có vẻ không chính xác hoặc thiếu thông tin.
    Nếu là một giáo viên luyện thi, tôi sẽ chỉ ra điều này cho học sinh và hướng dẫn giải các câu hỏi phổ biến hơn liên quan đến MN:

    • Mẹo (Nếu MN là đường trung bình): MN là đường trung bình của tam giác ABC, nên MN // AB và MN = 1/2 AB. Điều này thường được dùng để chứng minh song song hoặc tính độ dài.
    • Mẹo (Nếu muốn chứng minh MN là tiếp tuyến của đường tròn nào đó): Thông thường, ta sẽ cần xác định tâm và bán kính của đường tròn đó, rồi chứng minh khoảng cách từ tâm đến MN bằng bán kính, hoặc chứng minh MN vuông góc với bán kính tại một điểm trên MN.

    Do đó, thầy xin phép không giải tiếp phần b này vì đề bài có khả năng lỗi. Thầy sẽ thay thế bằng một bài tập hình học tổng quát hơn ở đề 5.

Đề số 5: Bất đẳng thức và Giá trị nhỏ nhất/lớn nhất

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Đề bài:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2x + 3 / (x2 + 2x + 1) + 1 (Với x ≠ -1).

Lời giải chi tiết:

  1. Phân tích biểu thức và đặt ẩn phụ:

    Biểu thức P có dạng khá phức tạp. Ta nhận thấy có các cụm x2 + 2x xuất hiện nhiều lần.

    Ta có x2 + 2x + 1 = (x + 1)2. Đặt y = x2 + 2x (hoặc y = (x + 1)2).

    Với y = x2 + 2x, biểu thức trở thành P = y + 3 / (y + 1) + 1. (Lưu ý: x ≠ -1 nên (x + 1)2 ≠ 0, tức y + 1 ≠ 0).

    Ta có y = x2 + 2x = (x + 1)2 – 1.

    Vì (x + 1)2 ≥ 0 với mọi x, nên (x + 1)2 – 1 ≥ -1.

    Vậy y ≥ -1. Nhưng vì x ≠ -1 nên (x + 1)2 > 0, suy ra y > -1. (Tức là y + 1 > 0).

    Biểu thức P có thể viết lại là: P = (y + 1) + 3 / (y + 1). (Đặt y + 1 = t với t > 0).

    Vậy P = t + 3/t với t > 0.

    • Mẹo: Luôn cố gắng đặt ẩn phụ để đơn giản hóa biểu thức. Sau khi đặt ẩn phụ, phải xác định rõ miền giá trị của ẩn phụ đó dựa trên điều kiện của biến gốc.

  2. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si (AM-GM):

    Với t > 0, ta có thể áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương t và 3/t:

    t + 3/t ≥ 2 * √(t * (3/t))

    t + 3/t ≥ 2 * √3

    Vậy, P ≥ 2√3.

    • Mẹo: Bất đẳng thức Cô-si là công cụ mạnh mẽ để tìm GTLN/GTNN cho các biểu thức có dạng tổng và tích của các số dương. Dạng cơ bản là a + b ≥ 2√ab.

  3. Tìm điều kiện để dấu bằng xảy ra:

    Dấu bằng trong bất đẳng thức Cô-si xảy ra khi và chỉ khi t = 3/t.

    t2 = 3

    t = √3 (Vì t > 0).

    Thay ngược lại t = y + 1:

    y + 1 = √3

    y = √3 – 1

    Thay ngược lại y = x2 + 2x:

    x2 + 2x = √3 – 1

    x2 + 2x – (√3 – 1) = 0

    x2 + 2x + 1 – √3 = 0

    (x + 1)2 = √3

    x + 1 = ±√√3

    x = -1 ±√√3

    Cả hai giá trị này đều thỏa mãn x ≠ -1.

    • Mẹo: Luôn nhớ tìm điều kiện xảy ra dấu bằng của bất đẳng thức để khẳng định giá trị tìm được là GTLN/GTNN thực sự.

  4. Kết luận:

    Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 2√3, đạt được khi x = -1 + √√3 hoặc x = -1 – √√3.

Hy vọng tuyển tập các bài tập mẫu với lời giải chi tiết và mẹo này sẽ giúp các em tự tin hơn trong quá trình ôn thi vào lớp 10. Hãy luyện tập thật nhiều và đừng ngần ngại hỏi thầy nếu có bất kỳ thắc mắc nào nhé! Chúc các em thành công!

Lượt xem: 5