Bộ đề thi thử vào lớp 10 môn Toán chương trình mới có đáp án chi tiết

BỘ ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN CHƯƠNG TRÌNH MỚI (GDPT 2018)

Chào các em học sinh lớp 9 thân mến! Thầy/cô rất hiểu những lo lắng của các em khi chuẩn bị bước vào kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10, đặc biệt là theo chương trình giáo dục phổ thông mới. Bộ đề thi thử dưới đây được cấu trúc bám sát định hướng đánh giá năng lực của Bộ Giáo dục và Đào tạo, bao gồm cả các dạng toán thực tế, xác suất thống kê và các bài toán đại số, hình học trọng tâm.

Hãy tự làm bài trong thời gian 120 phút, sau đó đối chiếu kỹ lưỡng từng bước giải trong phần đáp án chi tiết phía dưới để rút kinh nghiệm nhé!

---

PHẦN 1: ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN

Bài 1 (1,5 điểm): Biến đổi đại số

Cho biểu thức: $A = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} – \frac{2}{\sqrt{x}+1} – \frac{2}{x-1}$ với $x \ge 0$ và $x \ne 1$.

1. Rút gọn biểu thức $A$.
2. Tìm giá trị của $x$ để $A = \frac{1}{2}$.

Bài 2 (2,0 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phương trình/hệ phương trình và Toán thực tế

1. (1,5 điểm) Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì sau 6 ngày sẽ hoàn thành. Nếu làm riêng thì đội thứ nhất hoàn thành công việc nhanh hơn đội thứ hai là 5 ngày. Hỏi nếu làm riêng, mỗi đội phải mất bao nhiêu ngày để hoàn thành công việc đó?

2. (0,5 điểm) Một thùng nước hình trụ có bán kính đáy $R = 0,8 \text{ m}$ và chiều cao $h = 1,5 \text{ m}$. Tính thể tích nước tối đa mà thùng chứa được (làm tròn đến hàng phần mười, lấy $\pi \approx 3,14$). Biết công thức thể tích hình trụ là $V = \pi R^2 h$.

Bài 3 (2,0 điểm): Hệ phương trình và Hàm số – Phương trình bậc hai

1. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình sau:

$$\begin{cases} \frac{2}{x-1} + \frac{1}{y+2} = 4 \\ \frac{1}{x-1} – \frac{3}{y+2} = -5 \end{cases}$$

2. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho parabol $(P): y = x^2$ và đường thẳng $(d): y = 2x – m + 1$.

• Tìm $m$ để đường thẳng $(d)$ cắt parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1, x_2$ thỏa mãn: $x_1^2 + x_2^2 = 10$.

Bài 4 (3,5 điểm): Hình học tổng hợp

Cho đường tròn $(O; R)$ và một điểm $A$ nằm ngoài đường tròn. Từ $A$ kẻ hai tiếp tuyến $AB, AC$ với đường tròn $(O)$ ($B, C$ là các tiếp điểm). Gọi $H$ là giao điểm của $AO$ và $BC$.

1. Chứng minh tứ giác $ABOC$ nội tiếp được trong một đường tròn.
2. Kẻ một cát tuyến $ADE$ không đi qua tâm $O$ của đường tròn ($D$ nằm giữa $A$ và $E$). Chứng minh: $AB^2 = AD \cdot AE$.
3. Chứng minh $\widehat{AHD} = \widehat{AEO}$ và $AH \cdot AO = AD \cdot AE$.

Bài 5 (1,0 điểm): Toán thực tế & Xác suất – Thống kê (Chương trình mới)

Một hộp chứa 20 quả bóng có kích thước và khối lượng giống nhau, gồm 8 quả màu đỏ, 7 quả màu xanh và 5 quả màu vàng. Lấy ngẫu nhiên ra 1 quả bóng từ hộp.

1. Tính xác suất để quả bóng lấy ra có màu đỏ.
2. Tính xác suất để quả bóng lấy ra không phải màu xanh.

---

PHẦN 2: HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT TỪNG BƯỚC

Bài 1 (1,5 điểm)

1. Rút gọn biểu thức $A$:

Đơn giản hóa biểu thức theo quy tắc quy đồng mẫu thức:

Điều kiện xác định: $x \ge 0, x \ne 1$.

Mẫu thức chung là $x – 1 = (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)$.

Ta có:

$A = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1) – 2(\sqrt{x}-1) – 2}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}$

$A = \frac{x + \sqrt{x} – 2\sqrt{x} + 2 – 2}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}$

$A = \frac{x – \sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}$

$A = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}$

$A = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}$

Kết luận: $A = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}$.

2. Tìm $x$ để $A = \frac{1}{2}$:

Cho $A = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{x} = \sqrt{x} + 1$

$\Leftrightarrow \sqrt{x} = 1 \Leftrightarrow x = 1$.

Đối chiếu với điều kiện xác định $x \ne 1$, ta thấy $x = 1$ không thỏa mãn (loại).

Kết luận: Không có giá trị nào của $x$ thỏa mãn $A = \frac{1}{2}$.

Bài 2 (2,0 điểm)

1. Bài toán lập phương trình:

Bước 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện.

Gọi thời gian đội thứ nhất làm riêng hoàn thành công việc là $x$ (ngày). Điều kiện: $x > 6$.

Thời gian đội thứ hai làm riêng hoàn thành công việc là $x + 5$ (ngày).

Bước 2: Biểu diễn các đại lượng theo ẩn.

• Mỗi ngày đội 1 làm được: $\frac{1}{x}$ (công việc).
• Mỗi ngày đội 2 làm được: $\frac{1}{x+5}$ (công việc).
• Mỗi ngày cả hai đội làm chung được: $\frac{1}{6}$ (công việc).

Bước 3: Lập phương trình và giải.

Theo bài ra ta có phương trình:

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} = \frac{1}{6}$$

Quy đồng và khử mẫu hai bế:

$$6(x + 5) + 6x = x(x + 5)$$

$$\Leftrightarrow 6x + 30 + 6x = x^2 + 5x$$

$$\Leftrightarrow x^2 – 7x – 30 = 0$$

Giải phương trình bậc hai bằng $\Delta$:

$\Delta = (-7)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169 > 0 \Rightarrow \sqrt{\Delta} = 13$.

Phương trình có 2 nghiệm:

$x_1 = \frac{7 + 13}{2} = 10$ (thỏa mãn điều kiện $x > 6$)

$x_2 = \frac{7 – 13}{2} = -3$ (loại)

Kết luận: Đội 1 làm riêng hoàn thành trong 10 ngày. Đội 2 làm riêng hoàn thành trong $10 + 5 = 15 ngày$.

2. Bài toán hình học thực tế:

Áp dụng công thức thể tích hình trụ: $V = \pi R^2 h$

Thay số: $V \approx 3,14 \cdot (0,8)^2 \cdot 1,5 = 3,14 \cdot 0,64 \cdot 1,5 = 3,0144 \text{ m}^3$.

Đổi sang đơn vị lít ($1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ lít}$):

$V \approx 3,0144 \cdot 1000 = 3014,4 \text{ lít}$.

Kết luận: Thùng chứa được tối đa khoảng 3014,4 lít nước.

Bài 3 (2,0 điểm)

1. Giải hệ phương trình:

Điều kiện xác định: $x \ne 1$ và $y \ne -2$.

Đặt $a = \frac{1}{x-1}$ và $b = \frac{1}{y+2}$. Hệ phương trình trở thành:

$$\begin{cases} 2a + b = 4 \\ a – 3b = -5 \end{cases}$$

Từ phương trình thứ nhất suy ra $b = 4 – 2a$. Thế vào phương trình thứ hai:

$$a – 3(4 – 2a) = -5 \Leftrightarrow a – 12 + 6a = -5 \Leftrightarrow 7a = 7 \Leftrightarrow a = 1$$

Suy ra $b = 4 – 2(1) = 2$.

Trả lại ẩn ban đầu:

• $\frac{1}{x-1} = 1 \Rightarrow x – 1 = 1 \Rightarrow x = 2$ (thỏa mãn điều kiện)
• $\frac{1}{y+2} = 2 \Rightarrow y + 2 = \frac{1}{2} \Rightarrow y = -\frac{3}{2}$ (thỏa mãn điều kiện)

Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y) = \left(2; -\frac{3}{2}\right)$.

2. Bài toán Parabol và Đường thẳng:

Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là:

$$x^2 = 2x – m + 1 \Leftrightarrow x^2 – 2x + m – 1 = 0 \quad (1)$$

Để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $\Leftrightarrow$ Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta’ > 0$.

$$\Delta’ = (-1)^2 – 1 \cdot (m – 1) = 1 – m + 1 = 2 – m > 0 \Leftrightarrow m < 2$$

Theo hệ thức Vi-ét, ta có: $\begin{cases} x_1 + x_2 = 2 \\ x_1 \cdot x_2 = m – 1 \end{cases}$

Theo bài ra: $x_1^2 + x_2^2 = 10 \Leftrightarrow (x_1 + x_2)^2 – 2x_1 x_2 = 10$

$$\Leftrightarrow 2^2 – 2(m – 1) = 10$$

$$\Leftrightarrow 4 – 2m + 2 = 10 \Leftrightarrow 6 – 2m = 10 \Leftrightarrow 2m = -4 \Leftrightarrow m = -2$$

Đối chiếu với điều kiện $m < 2$, ta thấy $m = -2$ thỏa mãn.

Kết luận: Giá trị cần tìm là $m = -2$.

Bài 4 (3,5 điểm)

1. Chứng minh tứ giác $ABOC$ nội tiếp:

Do $AB, AC$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ nên $\widehat{ABO} = 90^\circ$ và $\widehat{ACO} = 90^\circ$.

Xét tứ giác $ABOC$ có: $\widehat{ABO} + \widehat{ACO} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau nên tứ giác $ABOC$ nội tiếp một đường tròn (đường kính $AO$).

2. Chứng minh $AB^2 = AD \cdot AE$:

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta AEB$ có:

• $\widehat{A}$ là góc chung.
• $\widehat{ABD} = \widehat{AEB}$ (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung $BD$).

Do đó, $\Delta ABD \sim \Delta AEB$ (g.g).

Suy ra tỷ số đồng dạng: $\frac{AB}{AE} = \frac{AD}{AB} \Rightarrow AB^2 = AD \cdot AE$ (đpcm).

3. Chứng minh $\widehat{AHD} = \widehat{AEO}$ và $AH \cdot AO = AD \cdot AE$:

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có $AB = AC$ và $OB = OC = R$. do đó $AO$ là đường trung trực của $BC$, suy ra $AO \perp BC$ tại $H$.

Xét tam giác $ABO$ vuông tại $B$ có đường cao $BH$, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: $AB^2 = AH \cdot AO$.

Kết hợp với câu b ($AB^2 = AD \cdot AE$), suy ra: $AH \cdot AO = AD \cdot AE$.

Từ $AH \cdot AO = AD \cdot AE \Rightarrow \frac{AH}{AE} = \frac{AD}{AO}$.

Xét $\Delta AHD$ và $\Delta AEO$ có:

• $\widehat{A}$ chung.
• $\frac{AH}{AE} = \frac{AD}{AO}$ (chứng minh trên).

Do đó $\Delta AHD \sim \Delta AEO$ (c.g.c).

Suy ra $\widehat{AHD} = \widehat{AEO}$ (hai góc tương ứng) (đpcm).

Bài 5 (1,0 điểm)

Tổng số quả bóng trong hộp là: $n(\Omega) = 20$ quả.

1. Xác suất lấy ra bóng màu đỏ:

Số quả bóng màu đỏ là $8$. Gọi biến cố $A$: “Lấy được quả bóng màu đỏ”.

Xác suất của biến cố $A$ là: $P(A) = \frac{8}{20} = \frac{2}{5} = 0,4$.

2. Xác suất lấy ra bóng không phải màu xanh:

Số quả bóng không phải màu xanh (gồm đỏ và vàng) là: $8 + 5 = 13$ quả.

Gọi biến cố $B$: “Lấy được quả bóng không phải màu xanh”.

Xác suất của biến cố $B$ là: $P(B) = \frac{13}{20} = 0,65$.

---

Lời khuyên từ thầy/cô: Khi làm bài thi thật, các em nhớ trình bày đầy đủ các bước, ghi rõ điều kiện xác định và kết luận cuối mỗi câu. Chúc các em ôn tập tốt và đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thành công!