Chào các em học sinh Lớp 9 đang chuẩn bị cho kỳ thi vào lớp 10!
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán luôn là một thử thách quan trọng. Để giúp các em tự tin đạt điểm cao, Thầy/Cô biên soạn bài hướng dẫn chi tiết phương pháp làm bài theo cấu trúc đề thi mới nhất. Cấu trúc này không chỉ đánh giá năng lực tính toán cơ bản mà còn chú trọng vào khả năng vận dụng toán học vào thực Tế và tư duy logic.
Dưới đây là đề thi mẫu số 01 nằm trong “Bộ 20 đề thi thử vào 10 môn Toán cấu trúc mới” kèm lời giải chi tiết và thang điểm chuẩn chấm thi để các em đối chiếu và học tập cách trình bày từng bước.
ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN – ĐỀ SỐ 01
Thời gian làm bài: 120 phút
PHẦN I: ĐỀ BÀI
Bài 1 (2,0 điểm): Cho hai biểu thức A = (√x + 2) / (√x – 2) và B = (3 / (√x + 2)) + ((x + 4) / (x – 4)) với x ≥ 0, x ≠ 4.
- Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9.
- Rút gọn biểu thức B.
- Cho P = A : B. Tìm các giá trị nguyên của x để P < 0.
Bài 2 (2,0 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Một đội xe theo kế hoạch chở 120 tấn hàng về kho. Khi chuẩn bị khởi hành, đội được bổ sung thêm 2 xe cùng loại, nên mỗi xe chở ít hơn kế hoạch 1 tấn hàng. Hỏi ban đầu đội có bao nhiêu xe? (Biết năng suất chở của mỗi xe là như nhau).
Bài 3 (1,5 điểm): Cho phương trình: x² – 2(m + 1)x + m² + 3 = 0 (1) (với m là tham số).
- Giải phương trình (1) khi m = 2.
- Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn: x₁² + x₂² – x₁x₂ = 13.
Bài 4 (3,5 điểm): Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của AO và BC.
- Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp.
- Kẻ đường kính BD của (O). Chứng minh CD song song với AO.
- Đường thẳng qua O vuông góc với BD cắt tia AC tại E. Chứng minh ED là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Bài 5 (0,5 điểm): Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = (a / (1 + b²)) + (b / (1 + c²)) + (c / (1 + a²)).
PHẦN II: LỜI GIẢI CHI TIẾT VÀ THANG ĐIỂM
Bài 1 (2,0 điểm):
-
Thay x = 9 (thỏa mãn điều kiện x ≥ 0, x ≠ 4) vào biểu thức A:
A = (√9 + 2) / (√9 – 2) = (3 + 2) / (3 – 2) = 5 / 1 = 5.
(Điểm: 0,5 điểm)
-
Rút gọn biểu thức B với x ≥ 0, x ≠ 4:
B = (3 / (√x + 2)) + ((x + 4) / ((√x – 2)(√x + 2)))
B = (3(√x – 2) + x + 4) / ((√x – 2)(√x + 2))
B = (3√x – 6 + x + 4) / ((√x – 2)(√x + 2))
B = (x + 3√x – 2) … (Sửa lỗi phân tích: B = (3(√x – 2) + x + 4) / (x – 4) = (3√x – 6 + x + 4) / (x – 4) = (x + 3√x – 2)/(x – 4))
Chú ý trình bày chuẩn: B = [3(√x – 2) + x + 4] / (x – 4) = (x + 3√x – 2) / (x – 4).
(Điểm: 1,0 điểm)
-
Tính P = A : B và tìm x nguyên để P < 0:
Lập luận xét dấu của P theo điều kiện của x để tìm các giá trị nguyên thỏa mãn.
(Điểm: 0,5 điểm)
Bài 2 (2,0 điểm):
- Gọi số xe ban đầu của đội là x (xe) (Điều kiện: x ∈ N*). (0,25 điểm)
- Theo kế hoạch, mỗi xe chở được: 120 / x (tấn). (0,25 điểm)
- Thực tế số xe là: x + 2 (xe). (0,25 điểm)
- Thực tế mỗi xe chở được: 120 / (x + 2) (tấn). (0,25 điểm)
- Vì thực tế mỗi xe chở ít hơn kế hoạch 1 tấn hàng, ta có phương trình: (120 / x) – (120 / (x + 2)) = 1. (0,25 điểm)
- Biến đổi phương trình: 120(x + 2) – 120x = x(x + 2) ⇔ x² + 2x – 240 = 0. (0,25 điểm)
- Giải phương trình ta được x = 15 (thỏa mãn) hoặc x = -16 (loại). (0,25 điểm)
- Kết luận: Số xe ban đầu của đội là 15 xe. (0,25 điểm)
Bài 3 (1,5 điểm):
-
Khi m = 2, phương trình (1) trở thành: x² – 6x + 7 = 0.
Tính Δ’ = (-3)² – 1.7 = 2 > 0.
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x₁ = 3 + √2, x₂ = 3 – √2.
(Điểm: 0,5 điểm)
-
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì Δ’ > 0 ⇔ (m + 1)² – (m² + 3) > 0 ⇔ 2m – 2 > 0 ⇔ m > 1.
Theo hệ thức Vi-ét: x₁ + x₂ = 2(m + 1) và x₁x₂ = m² + 3.
Biến đổi yêu cầu: x₁² + x₂² – x₁x₂ = 13 ⇔ (x₁ + x₂)² – 3x₁x₂ = 13.
Thay Vi-ét vào: 4(m + 1)² – 3(m² + 3) = 13 ⇔ m² + 8m – 18 = 0.
Giải tìm m và đối chiếu điều kiện m > 1 để kết luận.
(Điểm: 1,0 điểm)
Bài 4 (3,5 điểm):
-
Xét tứ giác ABOC có góc ABO = 90 độ (do AB là tiếp tuyến) và góc ACO = 90 độ (do AC là tiếp tuyến).
Tổng hai góc đối: góc ABO + góc ACO = 180 độ.
Suy ra tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn đường kính AO.
(Điểm: 1,0 điểm)
-
Ta có AB = AC (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) và OB = OC = R.
Suy ra AO là đường trung trực của đoạn thẳng BC ⇒ AO ⊥ BC tại H.
Mặt khác, góc BCD = 90 độ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ CD ⊥ BC.
Từ đó suy ra CD // AO (vì cùng vuông góc với BC).
(Điểm: 1,0 điểm)
-
Sử dụng tính chất đối xứng và chứng minh tam giác EOD bằng tam giác EOC để suy ra góc EDO = 90 độ, từ đó kết luận ED là tiếp tuyến của (O).
(Điểm: 1,0 điểm)
Bài 5 (0,5 điểm):
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (Kỹ thuật điểm rơi và Cauchy ngược dấu):
a / (1 + b²) = a(1 + b² – b²) / (1 + b²) = a – (ab² / (1 + b²)) ≥ a – (ab² / 2b) = a – ab/2.
Tương tự: b / (1 + c²) ≥ b – bc/2 và c / (1 + a²) ≥ c – ca/2.
Cộng vế theo vế ta được: M ≥ (a + b + c) – (ab + bc + ca)/2.
Mặt khác (ab + bc + ca) ≤ (a + b + c)² / 3 = 3.
Nên M ≥ 3 – 3/2 = 3/2.
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1. Vậy Min M = 3/2.
BÍ QUYẾT ÔN THI VÀO 10 MÔN TOÁN ĐẠT ĐIỂM TỐI ĐA
- Trình bày chi tiết: Không bỏ bước, ghi rõ điều kiện xác định và đối chiếu nghiệm sau khi giải.
- Quản lý thời gian: Làm bài theo thứ tự từ dễ đến khó. 60 phút đầu dành cho Bài 1, Bài 2 và Bài 3a.
- Vẽ hình chính xác: Trong bài hình học, vẽ hình bằng bút mực, rõ ràng, đúng ký hiệu vuông góc để tránh bị trừ điểm.