BÀI HƯỚNG DẪN ÔN THI VÀ GIẢI CHUYÊN SÂU ĐỀ THI HỌC KỲ 2 TOÁN 8
Chào các em học sinh Lớp 8 yêu quý! Thầy/Cô rất vui được đồng hành cùng các em trong quá trình ôn luyện cho kỳ thi Học kỳ 2 môn Toán. Đề thi Học kỳ 2 là bài kiểm tra vô cùng quan trọng, tổng hợp toàn bộ kiến thức đại số và hình học cốt lõi của nửa cuối năm học.
Để giúp các em nắm vững phương pháp và tự tin đạt điểm tối đa (9 – 10 điểm), Thầy/Cô đã biên soạn cấu trúc đề thi chuẩn kèm bài giải chi tiết từng bước (Step-by-step) dưới đây. Các em hãy chép lại bài vào vở và tự luyện tập nhé!
PHẦN I: ĐỀ THI THAM KHẢO HỌC KỲ 2 – TOÁN 8
Bài 1 (2,0 điểm): Giải các phương trình sau:
- a) 3x – 9 = 0
- b) (x – 3)(2x + 8) = 0
- c) (x + 2) / (x – 2) – 1 / x = 2 / (x² – 2x)
Bài 2 (1,5 điểm): Giải bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
2(x – 1) – 3 > 5x + 1
Bài 3 (1,5 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Một xe máy đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình 40 km/h. Khi từ B trở về A, xe đi với vận tốc 30 km/h nên thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 45 phút. Tính quãng đường AB.
Bài 4 (3,5 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH (H thuộc BC).
- a) Chứng minh tam giác HBA đồng dạng với tam giác ABC.
- b) Cho BH = 9 cm, HC = 16 cm. Tính độ dài đoạn thẳng AH và AB.
- c) Tia phân giác của góc ABC cắt AH tại D và cắt AC tại E. Chứng minh: DH / DA = EA / EC.
Bài 5 (0,5 điểm): Cho các số thực dương a, b thỏa mãn a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 1 / a + 1 / b.
PHẦN II: HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT TỪNG BƯỚC (STEP-BY-STEP)
BÀI 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Câu a) 3x – 9 = 0
- Bước 1: Chuyển hằng số -9 sang vế phải và đổi dấu. Ta được: 3x = 9
- Bước 2: Chia cả hai vế cho 3. Ta được: x = 9 / 3 = 3
- Bước 3: Kết luận. Tập nghiệm của phương trình là S = {3}.
Câu b) (x – 3)(2x + 8) = 0
- Bước 1: Đây là phương trình tích A(x).B(x) = 0, suy ra A(x) = 0 hoặc B(x) = 0.
- Bước 2: Trường hợp 1: x – 3 = 0 => x = 3.
- Bước 3: Trường hợp 2: 2x + 8 = 0 => 2x = -8 => x = -4.
- Bước 4: Kết luận. Tập nghiệm của phương trình là S = {3; -4}.
Câu c) (x + 2) / (x – 2) – 1 / x = 2 / (x² – 2x)
- Bước 1: Tìm Điều kiện xác định (ĐKXĐ). Mẫu thức x² – 2x = x(x – 2). ĐKXĐ: x ≠ 0 và x ≠ 2.
- Bước 2: Mẫu thức chung (MTC) là x(x – 2). Quy đồng mẫu thức hai vế:
[x(x + 2) – 1.(x – 2)] / [x(x – 2)] = 2 / [x(x – 2)] - Bước 3: Khử mẫu (khi đã cùng mẫu và thỏa mãn ĐKXĐ):
x(x + 2) – (x – 2) = 2 - Bước 4: Biến đổi và thu gọn:
x² + 2x – x + 2 = 2
x² + x + 2 – 2 = 0
x² + x = 0
x(x + 1) = 0 - Bước 5: Giải tìm x:
x = 0 (Loại vì không thỏa mãn ĐKXĐ)
x + 1 = 0 => x = -1 (Thỏa mãn ĐKXĐ) - Bước 6: Kết luận. Tập nghiệm của phương trình là S = {-1}.
BÀI 2: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Đề bài: 2(x – 1) – 3 > 5x + 1
- Bước 1: Nhân phá ngoặc vế trái: 2x – 2 – 3 > 5x + 1
- Bước 2: Thu gọn vế trái: 2x – 5 > 5x + 1
- Bước 3: Chuyển các hạng tử chứa x sang vế trái, hằng số sang vế phải (chú ý đổi dấu):
2x – 5x > 1 + 5
-3x > 6 - Bước 4: Chia cả hai vế cho -3 (Lưu ý: Chia cho số âm phải đổi chiều bất đẳng thức):
x < 6 / (-3)
x < -2 - Bước 5: Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là {x | x < -2}.
- Biểu diễn trên trục số: Vẽ trục số, đánh dấu điểm -2. Dùng ngoặc tròn “(” tại điểm -2 hướng về bên trái (về phía các số nhỏ hơn -2), gạch bỏ phần hình bên phải điểm -2.
BÀI 3: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
- Bước 1: Đổi đơn vị thời gian: 45 phút = 45/60 giờ = 3/4 (giờ).
- Bước 2: Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.
Gọi quãng đường AB là x (đơn vị: km, điều kiện: x > 0). - Bước 3: Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn x:
– Thời gian xe máy đi từ A đến B là: x / 40 (giờ).
– Thời gian xe máy đi từ B về A là: x / 30 (giờ). - Bước 4: Lập phương trình. Vì thời gian về nhiều hơn thời gian đi 3/4 giờ, nên ta có phương trình:
x / 30 – x / 40 = 3 / 4 - Bước 5: Giải phương trình:
Mẫu thức chung là 120. Quy đồng hai vế:
(4x – 3x) / 120 = 90 / 120
x = 90 (Thỏa mãn điều kiện x > 0) - Bước 6: Kết luận. Quãng đường AB dài 90 km.
BÀI 4: HÌNH HỌC TỔNG HỢP
Câu a) Chứng minh tam giác HBA đồng dạng với tam giác ABC:
- Xét tam giác HBA và tam giác ABC có:
– Góc AHB = Góc BAC = 90 độ (do AH là đường cao, tam giác ABC vuông tại A).
– Góc B là góc chung (hay góc HBA = góc ABC). - Suy ra: Tam giác HBA đồng dạng với tam giác ABC (trường hợp Góc – Góc). (ĐPCM)
Câu b) Tính độ dài AH và AB:
- Bước 1: Tính độ dài BC.
Ta có: BC = BH + HC = 9 + 16 = 25 (cm). - Bước 2: Tính độ dài AB.
Từ câu a, tam giác HBA đồng dạng tam giác ABC, suy ra tỉ số đồng dạng:
HB / AB = AB / BC
=> AB² = HB . BC = 9 . 25 = 225
=> AB = căn bậc hai của 225 = 15 (cm). - Bước 3: Tính độ dài AH.
Xét tam giác HBA vuông tại H, áp dụng định lý Pythagore:
AH² + BH² = AB²
=> AH² = AB² – BH² = 15² – 9² = 225 – 81 = 144
=> AH = căn bậc hai của 144 = 12 (cm).
Câu c) Chứng minh: DH / DA = EA / EC:
- Xét tam giác ABH có BD là đường phân giác của góc ABH (D thuộc AH).
Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có tỉ lệ:
DH / DA = BH / AB (1) - Xét tam giác ABC có BE là đường phân giác của góc ABC (E thuộc AC).
Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có tỉ lệ:
EA / EC = AB / BC (2) - Từ câu a, ta đã chứng minh tam giác HBA đồng dạng tam giác ABC, suy ra tỉ lệ cạnh tương ứng:
BH / AB = AB / BC (3) - Từ (1), (2) và (3) suy ra: DH / DA = EA / EC. (ĐPCM)
BÀI 5: BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC NÂNG CAO (0,5 ĐIỂM)
- Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức (Bất đẳng thức Schwarz):
1 / a + 1 / b >= (1 + 1)² / (a + b) - Thay a + b = 1 vào biểu thức trên:
P = 1 / a + 1 / b >= 2² / 1 = 4 - Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b. Mà a + b = 1 nên a = b = 1/2.
- Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của P là 4 khi a = b = 0,5.
Lời khuyên từ giáo viên: Các em hãy đọc kỹ yêu cầu của từng bài, lưu ý ghi đầy đủ điều kiện xác định và đơn vị đo để không bị trừ điểm đáng tiếc nhé. Chúc các em thi tốt!