Chào các em học sinh lớp 9 thân mến!
Thầy biết rằng giai đoạn ôn thi vào lớp 10 là vô cùng quan trọng và đầy thử thách. Để giúp các em tự tin chinh phục các dạng bài tập, đặc biệt là những bài tập rút gọn biểu thức chứa căn thường xuyên xuất hiện trong đề thi, hôm nay thầy sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết một bài tập mẫu từ chương trình Toán 9 SGK tập 1. Đây là dạng bài tổng hợp nhiều kiến thức và kỹ năng, đòi hỏi sự cẩn thận và tư duy logic.
Hãy cùng bắt đầu nào!
ĐỀ BÀI MẪU: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN
Cho biểu thức A như sau:
A = [ (√x / (√x − 1)) − (1 / (x − √x)) ] ÷ [ (1 / (√x + 1)) + (2 / (x − 1)) ]
Với điều kiện x > 0, x ≠ 1.
Hãy rút gọn biểu thức A.
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT TỪNG BƯỚC (STEP-BY-STEP)
Bước 1: Phân tích và tìm điều kiện xác định
Trước hết, chúng ta cần xem xét lại điều kiện đề bài đã cho: x > 0, x ≠ 1.
Điều kiện này đảm bảo các biểu thức dưới dấu căn có nghĩa (√x có nghĩa) và các mẫu số khác 0.
Ta phân tích các mẫu số trong biểu thức:
- Mẫu thứ nhất: √x − 1
- Mẫu thứ hai: x − √x = √x(√x − 1)
- Mẫu thứ ba: √x + 1
- Mẫu thứ tư: x − 1 = (√x − 1)(√x + 1)
Nhận thấy rằng các mẫu số đều có thể được quy về (√x − 1) và (√x + 1).
Bước 2: Rút gọn biểu thức trong ngoặc thứ nhất
Gọi B là biểu thức trong ngoặc thứ nhất: B = (√x / (√x − 1)) − (1 / (x − √x))
- Phân tích mẫu chung:Mẫu thức chung của (√x − 1) và √x(√x − 1) là √x(√x − 1).
- Quy đồng và thực hiện phép trừ:B = [ (√x × √x) / (√x(√x − 1)) ] − [ 1 / (√x(√x − 1)) ]
B = [ x / (√x(√x − 1)) ] − [ 1 / (√x(√x − 1)) ]
B = (x − 1) / (√x(√x − 1))
- Rút gọn tử số:Ta biết x − 1 = (√x − 1)(√x + 1) (Đây là hằng đẳng thức số 3: a2 − b2 = (a − b)(a + b)).
B = [ (√x − 1)(√x + 1) ] / [ √x(√x − 1) ]
- Triệt tiêu nhân tử chung:Với điều kiện x ≠ 1, suy ra √x − 1 ≠ 0. Ta có thể triệt tiêu (√x − 1) ở cả tử và mẫu.
B = (√x + 1) / √x
Vậy, biểu thức trong ngoặc thứ nhất sau khi rút gọn là: (√x + 1) / √x
Bước 3: Rút gọn biểu thức trong ngoặc thứ hai
Gọi C là biểu thức trong ngoặc thứ hai: C = (1 / (√x + 1)) + (2 / (x − 1))
- Phân tích mẫu chung:Mẫu thức chung của (√x + 1) và (x − 1) = (√x − 1)(√x + 1) là (√x − 1)(√x + 1).
- Quy đồng và thực hiện phép cộng:C = [ 1 × (√x − 1) / ((√x − 1)(√x + 1)) ] + [ 2 / ((√x − 1)(√x + 1)) ]
C = [ (√x − 1) / ((√x − 1)(√x + 1)) ] + [ 2 / ((√x − 1)(√x + 1)) ]
C = (√x − 1 + 2) / ((√x − 1)(√x + 1))
C = (√x + 1) / ((√x − 1)(√x + 1))
- Triệt tiêu nhân tử chung:Với điều kiện x > 0, √x + 1 luôn dương nên khác 0. Ta có thể triệt tiêu (√x + 1) ở cả tử và mẫu.
C = 1 / (√x − 1)
Vậy, biểu thức trong ngoặc thứ hai sau khi rút gọn là: 1 / (√x − 1)
Bước 4: Thực hiện phép chia hai biểu thức đã rút gọn
Bây giờ chúng ta thay các biểu thức B và C đã rút gọn vào A:
A = B ÷ C
A = [ (√x + 1) / √x ] ÷ [ 1 / (√x − 1) ]
Để thực hiện phép chia, ta nhân biểu thức thứ nhất với nghịch đảo của biểu thức thứ hai:
A = [ (√x + 1) / √x ] × [ (√x − 1) / 1 ]
A = [ (√x + 1)(√x − 1) ] / √x
Sử dụng hằng đẳng thức (a − b)(a + b) = a2 − b2 cho tử số:
A = (x − 1) / √x
Bước 5: Kết luận
Vậy, với điều kiện x > 0, x ≠ 1, biểu thức A sau khi rút gọn là:
A = (x − 1) / √x
MỘT SỐ LƯU Ý QUAN TRỌNG ĐỂ HỌC TỐT DẠNG BÀI NÀY
- Nắm vững các hằng đẳng thức đáng nhớ: Đặc biệt là a2 − b2 = (a − b)(a + b) và (a ± b)2.
- Kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử: Rất quan trọng để tìm mẫu chung và rút gọn biểu thức. Hãy luyện tập phân tích x − √x = √x(√x − 1), x − 1 = (√x − 1)(√x + 1).
- Tìm Mẫu thức chung chính xác: Đây là bước then chốt quyết định sự thành công của bài toán quy đồng.
- Cẩn thận khi quy đồng và cộng trừ phân thức: Đừng để sai sót dấu hoặc nhầm lẫn trong quá trình biến đổi.
- Kiểm tra điều kiện xác định: Luôn bám sát điều kiện đề bài để đảm bảo các bước triệt tiêu là hợp lệ.
- Luyện tập thường xuyên: Giải nhiều bài tập tương tự sẽ giúp các em quen thuộc với các dạng biến đổi và rút gọn.
Chúc các em học tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới!